[論文レビュー] Chern-Simons gravity, based on a non-semisimple group

Christian Duval, Z. Horvȧth+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非単純な拡張されたポincare代数に基づく (2+1)-次元のチャーン・サイモンズゲージ理論を構築し、この理論の次元削減がキャンジェミとジャッキーウの1次元ストリングに由来する重力モデルを再現することを示している。主な結果は、生成子 Pμe、J、T を持つ中心拡大された非単純代数を用いて、高次元のチャーン・サイモンズ作用から一貫性のあるゲージ理論的導出がなされたことである。

ABSTRACT

The gauge theory-formulation of string-motivated lineal gravity proposed by Cangemi and Jackiw is obtained by dimensional reduction from $(2+1)$ dimensional gravity with a Chern-Simons Lagrangian.

研究の動機と目的

• キャンジェミとジャッキーウの (1+1)-次元のストリングに由来する重力モデルの高次元的起源を確立すること。
• このモデルが (2+1)-次元のチャーン・サイモンズゲージ理論からの次元削減によって生じることを示すこと。
• 非単純なリーリー代数を用いて、非自明な中心拡大を持つ一貫性のあるチャーン・サイモンズラグランジアンを構築すること。
• 得られた場の運動方程式が、低次元モデルの torsion-free および曲率ゼロの条件を再現することを示すこと。
• 中心拡大された非単純代数に基づく線形重力のゲージ理論的定式化を提供すること。

提案手法

• 生成子 Pμ、Jμ、Tμ を持つ非単純な拡張ポincare代数を用いて (2+1)-次元のゲージ理論を定式化し、[Pμ, Pν] = đμνρ Tρ および [Jμ, Pν] = đμνρ Pρ を満たす。
• ローレンツ計量 ημν = diag(-1,1,1) を用いて接続形式 Aα = eαμ Pμ + ωαμ Jμ + aαμ Tμ を導入する。
• 不変な2次形式 Ω_AB M^A M^B = Pμ P^bc + Jμ T^bc + Tμ J^bc を用いてチャーン・サイモンズラグランジアンを構築する。
• チャーン・サイモンズ3形式から場の運動方程式を導出し、最初の2つの式で torsion と曲率がゼロである条件が得られる。
• すべての場が x_2 に依存しないと仮定することで次元削減を実行し、(2+1)D の場を (1+1)D の変数に一貫性を持って削減する。
• 削減されたラグランジアンがキャンジェミとジャッキーウの作用と完全に一致し、同じ場の運動方程式と制約条件を持つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャンジェミ・ジャッキーウの (1+1)-次元重力モデルは (2+1)-次元ゲージ理論から導出可能か？
• RQ2 高次元に持ち上げた際、キャンジェミ・ジャッキーウのモデルに内在する非単純なリーリー代数の構造は何か？
• RQ3 (2+1)次元のチャーン・サイモンズ作用は、ストリングに由来する (1+1)-次元重力に次元削減することで得られるか？
• RQ4 Tμ を通じた中心拡大の導入が、削減された理論におけるゲージ構造と場の運動方程式に与える影響は何か？
• RQ5 非単純代数上の非退化な2次形式が、一貫性のあるチャーン・サイモンズ理論を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非単純な拡張ポincare代数に基づく (2+1)-次元のチャーン・サイモンズラグランジアンは、次元削減によってキャンジェミ・ジャッキーウのモデルを再現する。
• チャーン・サイモンズ作用からの場の運動方程式は、torsion と曲率がゼロである条件を強制し、(1+1)-次元重力の運動方程式 R=0 および ∇_μ∇_νη = (1/2)Λ h_μν と整合する。
• 削減手順により、(2+1)D の場 e_α^μ、ω_α^μ、a_α^μ が (1+1)D の場 e_a^k、ω_a、a_a、η^k、η^2、η^3 に指定されたようにマッピングされる。
• 得られた (1+1)D ラグランジアンは、キャンジェミとジャッキーウが提示した形式と完全に一致し、彼らのモデルのゲージ理論的起源を確認する。
• 非単純代数構造、特に [P,P] が T に比例し、[J,P] が P に比例する構造が、非退化な2次形式を持つ一貫性のあるチャーン・サイモンズ作用の構築を可能にする。
• 本稿は、非単純なゲージ群を介して、ストリングに由来する重力と高次元のチャーン・サイモンズゲージ理論との直接的な関係を確立し、キャンジェミとジャッキーウが提起した疑問に答えている。