[論文レビュー] Chiral differential operators via Batalin-Vilkovisky quantization

Vassily Gorbounov, Owen Gwilliam+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、バタリン＝ヴィルコヴィチ量子化、因子代数、および正規化を用いて、量子的曲がったβγ系を厳密に構成する。その結果、量子観測可能量が複素多様体X上のチャイナル微分作用素（CDO）の層と同型である因子代数をなすことが証明された。主な結果として、ホロモルフィックσモデルを介した頂点代数の変形量子化が得られ、その際のトポロジカルな障害はゲルファンド＝フクスコhomologyにおける第一ポントリャーギン類に起因する。

ABSTRACT

We show that the local observables of the curved beta gamma system encode the sheaf of chiral differential operators using the machinery of the book "Factorization algebras in quantum field theory", by Kevin Costello and the second author, which combines renormalization, the Batalin-Vilkovisky formalism, and factorization algebras. Our approach is in the spirit of deformation quantization via Gelfand-Kazhdan formal geometry. We begin by constructing a quantization of the beta gamma system with an n-dimensional formal disk as the target. There is an obstruction to quantizing equivariantly with respect to the action of formal vector fields on the target disk, and it is naturally identified with the first Pontryagin class in Gelfand-Fuks cohomology. Any trivialization of the obstruction cocycle thus yields an equivariant quantization with respect to an extension of formal vector fields by the closed 2-forms on the disk. By results in the book listed above, we then naturally obtain a factorization algebra of quantum observables, which has an associated vertex algebra easily identified with the formal beta gamma vertex algebra. Next, we introduce a version of Gelfand-Kazhdan formal geometry suitable for factorization algebras, and we verify that for a complex manifold with trivialized first Pontryagin class, the associated factorization algebra recovers the vertex algebra of CDOs on the complex manifold.

研究の動機と目的

• 曲がったβγ系における演算子代数が複素多様体X上のチャイナル微分作用素（CDO）と同型である、という物理的主張を数学的に検証すること。
• コストェロ＝グウィリアムの枠組みである正規化、バタリン＝ヴィルコヴィチ形式、および因子代数を用いて、曲がったβγ系の厳密な量子場理論を構築すること。
• 標的空間上での形式的ベクトル場に関する等変量子化の障害を、ゲルファンド＝フクスコhomologyにおける第一ポントリャーギン類として同定すること。
• 因子代数の文脈に一般化されたゲルファンド＝カジダン形式幾何学を構築し、その局所モデルを形式的ディスク上で定義すること。
• 理論の無限体積極限がホロモルフィックβγ系を回復し、ホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックなセクターへのチャイナル分離をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 複素多様体Xを標的空間とするリーマン面上で曲がったβγ系の量子場理論を、バタリン＝ヴィルコヴィチ形式および正規化技術を用いて構築する。
• 作用汎関数を $ S_{IVL}(f,B) = \int_S \mathrm{ev}(d_+f \wedge B) $ と定義し、無限体積極限においてホロモルフィックおよびアンチホロモルフィック部分が分離されることを示す。
• 場の複素化を用いて微分 $ d_+ $ を $ \overline{\partial}_{V^{1,0}} + \partial_{V^{0,1}} $ に分解し、理論のチャイナル分離を可能にする。
• BV量子化から得られる量子観測可能量の因子代数を構成し、それがX上のCDO層を符号化することを示す。
• 因子代数に適したゲルファンド＝カジダン形式幾何学のバージョンを導入し、形式的ディスク上での局所モデルを可能にする。
• ゲルファンド＝フクスココhomologyにおける障害コサイクルの自明化が、$ \mathrm{W}_n $ に $ \widehat{\Omega}^2_{\mathrm{cl}} $ を拡張する形での等変量子化をもたらし、CDO頂点代数に至ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現代のQFTツール（BV形式および因子代数を含む）を用いて、曲がったβγ系をどのように厳密に量子化できるか？
• RQ2 曲がったβγ系における量子観測可能量の正確な数学的構造は何か？ そしてそれはチャイナル微分作用素とどのように関係するか？
• RQ3 形式的ディスク上での形式的ベクトル場に関する等変量子化を妨げる第一ポントリャーギン類の役割は何か？
• RQ4 ゲルファンド＝カジダン形式幾何学は因子代数の文脈にどのように一般化され、複素多様体上のCDOを記述できるか？
• RQ5 βγ系の無限体積極限を用いて、ホロモルフィックβγ系およびその関連頂点代数を回復できるか？

主な発見

• 曲がったβγ系の量子観測可能量の因子代数は、複素多様体X上のチャイナル微分作用素の層と同型である。
• 標的ディスク上での形式的ベクトル場 $ \mathrm{W}_n $ に関する等変量子化の障害は、自然にゲルファンド＝フクスココhomologyにおける第一ポントリャーギン類として同定される。
• この障害コサイクルの自明化は、$ \mathrm{W}_n $ に $ \widehat{\Omega}^2_{\mathrm{cl}} $ を拡張する形での等変量子化をもたらし、CDO頂点代数に至る。
• 量子観測可能量に付随する頂点代数は、形式的βγ頂点代数と同定される。
• 第一ポントリャーギン類が自明化された複素多様体Xに対して、構築された因子代数は、CDO頂点代数 $ \mathrm{CDO}_{X,\alpha} $ を回復する。
• 複素化された理論のチャイナル分離により、作用がホロモルフィックおよびアンチホロモルフィックなセクターに分離され、ホロモルフィック部分がCDO構造を符号化する。