[논문 리뷰] Chromatic Numbers of Exact Distance Graphs

Jan van den Heuvel, H. A. Kierstead외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 07.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 27인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 색칠 수를 사용하여 정확한 거리-p 그래프 G[♮p]의 색칠 수를 유계화하는 간소화된 증명을 제공한다. 홀수 p에 대해 χ(G[♮p])는 G의 약한 (2p−1)-색칠 수로 유계이며, 짝수 p에 대해선 약한 (2p)-색칠 수와 최대 차수의 곱으로 유계이다. 주요 기여는 평면 및 Kt-미니처를 가진 그래프를 포함한 유계 확장 그래프에 대해 이전 결과보다 훨씬 향상되고 더 명확한 유계를 제공한다.

ABSTRACT

For any graph $G=(V,E)$ and positive integer $p$, the exact distance-$p$ graph $G^{[ atural p]}$ is the graph with vertex set $V$, which has an edge between vertices $x$ and $y$ if and only if $x$ and $y$ have distance $p$ in $G$. For odd $p$, Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez proved that for any fixed graph class with bounded expansion, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by an absolute constant. Using the notion of generalised colouring numbers, we give a much simpler proof for the result of Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez, which at the same time gives significantly better bounds. In particular, we show that for any graph $G$ and odd positive integer $p$, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by the weak $(2p-1)$-colouring number of $G$. For even $p$, we prove that $\chi(G^{[ atural p]})$ is at most the weak $(2p)$-colouring number times the maximum degree. For odd $p$, the existing lower bound on the number of colours needed to colour $G^{[ atural p]}$ when $G$ is planar is improved. Similar lower bounds are given for $K_t$-minor free graphs.

연구 동기 및 목표

• 유계 확장 그래프에 대해 정확한 거리-p 그래프의 색칠 수가 유계임을 더 단순하고 날카운 증명을 제공하는 것.
• Nešetřil과 Ossona de Mendez의 원래 결과보다 홀수 p 및 짝수 p에 대해 χ(G[♮p])의 상한을 향상시키는 것.
• 일반화된 색칠 수와 최대 차수에 따라 명시적인 색칠 수 유계를 설정하는 것.
• 특히 홀수 p에 대해 평면 및 Kt-미니처를 가진 그래프에 대한 χ(G[♮p])의 하한을 향상시키는 것.
• 짝수 거리에 대한 정확한 거리 그래프의 색칠 수 유계와 그 구조적 파라미터에 대한 의존성에 관한 열린 질문을 다루는 것.

제안 방법

• 저자들은 홀수 p에 대해선 약한 (2p−1)-색칠 수, 짝수 p에 대해선 약한 (2p)-색칠 수를 사용하여 χ(G[♮p])를 유계화한다.
• 일반화된 색칠 수에 기반한 정점 순서와 정확한 거리-p 그래프의 구조 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 홀수 p에 대해선, 약한 (2p−1)-색칠 수가 유계인 임의의 정점 순서가 χ(G[♮p])를 그 색칠 수로 유계로 가지는 적절한 색칠을 유도함을 증명한다.
• 짝수 p에 대해선 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G)임을 보여주며, 색칠 수와 최대 차수 모두와의 연관성을 맺는다.
• 극한 구조를 사용하여 평면 및 Kt-미니처를 가진 그래프에 대해 χ(G[♮p])의 향상된 하한을 도출한다.
• 특정 그래프 가족(예: 외평면, 평면)을 분석하고 예시를 구성하여 유계의 날카로움을 보여주며, Godd에 대해 임의로 큰 색칠 수를 가진 그래프를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 확장 그래프에 대해 정확한 거리-p 그래프 G[♮p]의 색칠 수가 일반화된 색칠 수의 함수로 유계가 될 수 있는가?
• RQ2 색칠 수와 최대 차수와 같은 구조적 파라미터에 대해 홀수 p에 대해 χ(G[♮p])의 최적 상한은 무엇인가?
• RQ3 짝수 p에 대해 G[♮p]의 색칠 수는 어떻게 행동하며, 색칠 수와 Δ(G)에 따라 유계로 표현될 수 있는가?
• RQ4 평면 및 Kt-미니처를 가진 그래프에 대해 홀수 p에 대해 χ(G[♮p])의 가장 날카로운 알려진 하한은 무엇인가?
• RQ5 모든 평면 그래프 G에 대해 χ(Godd) ≤ f(ω(Godd))를 만족하는 함수 f가 존재하는가, 여기서 Godd는 모든 홀수 거리 간선을 포함한다?

주요 결과

• 모든 그래프 G와 홀수 p에 대해 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p−1}(G)이며, 이는 이전 결과보다 훨씬 날카로운 유계를 제공한다.
• 짝수 p에 대해 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G)이며, 색칠 수와 최대 차수에 따라 명시적인 새로운 유계를 설정한다.
• 평면 그래프에 대해 χ(G[♮3]) ≤ 105이며, χ(G[♮3]) = 7인 평면 그래프가 존재함을 보여, 상한과 하한 모두 향상되었다.
• 외평면 그래프에 대해 χ(G[♮3]) ≤ 10이며, χ(G[♮3]) = 5인 외평면 그래프가 존재한다.
• 저자들은 t ≥ 4에 대해 χ(G[♮3]) ≥ 2(t−2)+1인 Kt-미니처를 가진 그래프를 구성하여 색칠 수가 t에 대해 선형으로 증가할 수 있음을 보였다.
• 저자들은 외평면 그래프에서 ω(Godd)가 크더라도 χ(Godd)가 임의로 클 수 있음을 보여, Godd의 색칠 수를 클리크 수에 따라 유계로 묶는 데의 과제를 부각시켰다.