[論文レビュー] CKS-space in terms of growth functions

Nobuhiro Asai, Izumi Kubo+1 more|ArXiv.org|Apr 13, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、成長関数とそのLegendre変換を用いてCKS空間を構築するフレームワークを提案し、S変換における成長条件を通じてHidaのテスト関数および一般化関数を特徴付ける。主な貢献は、一般化関数の成長関数として双対Legendre変換 $ u^* $ が機能することを示したことであり、一方 $ u $ 自身がテスト関数を特徴付ける。これにより、従来の複雑な級数表現を閉形式の関数に簡略化できる。

ABSTRACT

A class of growth functions $u$ is introduced to construct Hida distributions and test functions. The Legendre transform $\ell_{u}$ of $u$ is used to define a sequence $\a(n)=(\ell_{u}(n) n!)^{-1}, n\geq 0$, of positive numbers. From this sequence we get a CKS-space. Under various conditions on $u$ we show that the associated sequence $\{\a(n)\}$ satisfies those conditions for carrying out the white noise distribution theory on the CKS-space. We show that $u$ and its dual Legendre transform $u^{*}$ are growth functions for test and generalized functions, respectively, in the characterization theorems.

研究の動機と目的

• 成長関数 $ u $ とそのLegendre変換 $ \ell_u $ を用いたCKS空間を体系的に構築する方法を開発すること。
• S変換における成長条件を用いて、$ u $ と $ u^* $ を用いてHidaのテスト関数および一般化関数を特徴付けること。
• 実用的でない級数に基づく成長関数（例：$ G_{1/\alpha} $）を、等価で閉形式の関数 $ u $ と $ u^* $ に置き換えること。
• 適切な条件下で、$ u $ と $ u^* $ がそれぞれテスト関数および一般化関数の双対成長関数として機能することを示すこと。
• Kondratiev-Streit空間や $ k $ 階のBell数といった具体例を用いて、フレームワークの妥当性を検証すること。

提案手法

• 成長関数 $ u $ のLegendre変換 $ \ell_u $ から、$ \alpha(n) = (\ell_u(n) n!)^{-1} $ なる列 $ \alpha(n) $ を定義する。
• $ \alpha(n) $ を含むノルムを用いて、$ [\mathcal{E}_p]_\alpha $ の射影極限としてCKS空間 $ [\mathcal{E}]_\alpha $ を構成する。
• S変換を用いて、$ [\mathcal{E}]_\alpha $ および $ [\mathcal{E}]_\alpha^* $ に属する関数を、$ u $ と $ u^* $ を含む成長上限で特徴付ける。
• Legendre双対性を適用し、$ \mathcal{L}_u $（$ u $ のLegendre変換）が単調性のもとで $ u $ と等価であることを示し、簡略化を可能にする。
• 漸近解析とStirlingの近似を用いて、$ G_{1/\alpha} $ と $ \mathcal{L}_u $、$ G_\alpha $ と $ u^* $ の等価性を確立する。
• 文献[2]、[5]、[8]の定理を用いて、テスト関数および一般化関数空間への属するための必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長関数 $ u $ を用いて、ホワイトノイズ解析におけるCKS空間を定義・特徴付ける方法は何か？
• RQ2 Legendre変換 $ \ell_u $ 及びその双対 $ u^* $ は、テスト関数および一般化関数を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 実用的でない級数に基づく成長関数（例：$ G_{1/\alpha} $）を、$ u $ や $ u^* $ といった閉形式関数に置き換えることは可能か？
• RQ4 成長関数 $ u $ にどのような条件下で、関連する列 $ \alpha(n) $ がホワイトノイズ分布理論の公理を満たすか？
• RQ5 Kondratiev-Streit空間やBell数といった既知の例は、このフレームワークにおいてどのように位置づけられるか？

主な発見

• 一般化関数空間 $ [\mathcal{E}]_\alpha^* $ において、双対Legendre変換 $ u^* $ が、複雑な級数 $ G_\alpha $ の代わりに成長関数として機能する。
• 関数 $ u $ 自身が、$ u $ が単調増加であるという条件下で、テスト関数空間 $ [\mathcal{E}]_\alpha $ における特徴関数として機能する。
• Kondratiev-Streit空間（$ \alpha(n) = (n!)^\beta $）において、成長関数 $ u(r) = \exp\big[(1+\beta)r^{1/(1+\beta)}\big] $ は $ G_{1/\alpha} $ と等価であり、$ u^*(r) = \exp\big[(1-\beta)r^{1/(1-\beta)}\big] $ は $ G_\alpha $ と等価である。
• $ k $ 階のBell数 $ b_k(n) $ に対応するCKS空間は、反復指数関数 $ u(r) = \exp_k(r) $ で定義される空間と等価であり、$ u^* $ は $ v(r) = \exp\big[2\sqrt{r \log_{k-1}\sqrt{r}}\big] $ と等価である。
• $ u $ に対して条件 (U0)、(U1)、(U2)、(U3) が満たされれば、$ u $ と $ u^* $ はそれぞれテスト関数および一般化関数の有効な成長関数として成立する。
• $ \mathcal{L}_u $ と $ u $ の等価性、および $ \mathcal{L}_u $ と $ G_{1/\alpha} $ の等価性により、特徴定理の簡略化が一般性を失わず可能となる。