[論文レビュー] Classes d'homotopie de champs de vecteurs Morse-Smale sans singularité sur les fibrés de Seifert

Emmanuel Dufraine|ArXiv.org|Dec 5, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた向き付け可能な3次元多様体から2次元球面への滑らかな写像のホモトピー基準を、写像が一致または反対である集合のホモロジー類とリンク数に基づいて確立する。この基準をSeifert 3次元多様体上の非特異的およびMorse-Smaleベクトル場へと拡張し、任意のホモトピー類に依存せず、すべての非特異的ベクトル場が、有限個の周期軌道を持つMorse-Smale場にホモトープであることを証明する。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we consider smooth maps from a compact orientable 3-manifold without boundary to the 2-sphere. We give a geometric criterion to decide whether two given maps are homotopic, based on the sets of points where the maps are equal or antipodal. We extend this criterion to non-singular vector fields (and co-oriented plane fields) on 3-manifolds. In the second part, we make use of this criterion to study non-singular Morse-Smale vector fields on Seifert manifolds, giving a simple proof of a result of Yano.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な3次元多様体からS²への滑らかな写像のホモトピーの幾何的基準を、一致集合と反対集合に基づいて提供すること。
• 接バンドルの自明化に依存しない、3次元多様体上の非特異的ベクトル場および符号付き平面場へのこの基準の拡張。
• Seifert多様体上の非特異的Morse-Smaleベクトル場の分類にこの基準を適用し、各ホモトピー類における周期軌道の有限性を証明すること。
• ラウンドハンドル分解を避けて、周期軌道が有界なMorse-Smale代表元の存在に対する、新しい初等的証明を提供すること。

提案手法

• 2つの写像 $f,g: M \to S^2$ に対して、$C_+(f,g)$ と $C_-(f,g)$ をそれぞれ写像が一致する集合および反対である集合と定義し、摂動後にそれらが向き付けられたリンクであることを示す。
• ホモロジー類 $[C_-(f,g)]_{H_1(M)} = 0$ をホモトピーの第一の障害とし、$c_f = c_g$ を示す。
• リンク数 $\operatorname{Link}(C_+, C_-)$ を $2p$ で法とる（ベクトル場の場合は $p$ で法とる）第二の障害として用いる。ここで $p$ はクラス $c_f$ の最大の因子である。
• ベクトル場 $X,Y$ に対して、ベクトルが正または負に比例する集合 $C_+(X,Y)$ と $C_-(X,Y)$ を用いて基準を非特異的ベクトル場へ拡張する。
• 非特異的ベクトル場のホモトピー類を特徴付けるために、オイラー類 $\mathcal{E}(X)$ のPoincaré双対を用いる。
• 周期軌道にWada操作を施し、フレーミング不変量を調整することで、任意の与えられたオイラー類を実現するMorse-Smale場を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた向き付け可能な3次元多様体から $S^2$ への2つの滑らかな写像がいつホモトープか？
• RQ2 ハンドル分解に依存せずに、3次元多様体上の非特異的ベクトル場のホモトピー型をどのように分類できるか？
• RQ3 Seifert 3次元多様体上の任意の非特異的ベクトル場は、有限個の周期軌道を持つMorse-Smale場にホモトープにできるか？
• RQ4 リンク不変量とオイラー類の可除性は、非特異的ベクトル場のホモトピー類の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 Seifert多様体上で実現可能なすべてのリンク型が、Morse-Smale場の周期軌道リンクとして現れるか？

主な発見

• 2つの滑らかな写像 $f,g: M \to S^2$ がホモトープであるための必要十分条件は、$[C_-(f,g)]_{H_1(M)} = 0$ かつ $\operatorname{Link}(C_+, C_-) \equiv 0 \pmod{2p}$ であり、ここで $p$ はクラス $c_f = [f^{-1}(y)]_{H_1(M)}$ の最大の因子である。
• 非特異的ベクトル場 $X,Y$ に対して、ホモトピーは $[C_-(X,Y)]_{H_1(M)} = 0$ かつ $\operatorname{Link}(C_+, C_-) \equiv 0 \pmod{p}$ と同値であり、ここで $p$ は $\mathcal{E}(X) = \mathcal{E}(Y)$ の最大の因子である。
• Seifert 3次元多様体上の任意の非特異的ベクトル場は、$n(M)$ 個以下の周期軌道を持つ非特異的Morse-Smale場にホモトープである。ここで $n(M)$ は有限な定数である。
• 任意の $c \in H_1(M,\mathbb{Z})$ に対して、$c_{X_\tau} = c$ を満たすMorse-Smaleベクトル場 $X$ が存在する。これはオイラー類の完全実現性を示している。
• Wada操作による構成により、同じオイラー類を持つすべてのホモトピー類に、制御されたフレーミング変更を伴うMorse-Smale代表元が存在することが保証される。
• 最終的な構成におけるリンク数 $\lambda$ に対して $\operatorname{Link}(C_+, C_-) = \lambda$ が成り立つ。これは不変量を任意の整数に調整可能であり、基準が鋭いことを示している。