[論文レビュー] Classes of semigroups modulo Green's relation H

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グリーンの関係 ℋ に関する逆元を用いて定義される半群、特に古典的な概念（逆半群、正規半群など）を一般化した半群を導入し、研究している。ℋ-正則、ℋ-正規、完全逆半群を特徴づけ、ℋ-可換性およびℋが合同であることが完全逆半群を特徴づける鍵であることを示し、暗号的および組合せ的逆半群への応用も含む。

ABSTRACT

Inverses semigroups and orthodox semigroups are either defined in terms of inverses, or in terms of the set of idempotents E(S). In this article, we study analogs of these semigroups defined in terms of inverses modulo Green's relation H, or in terms of the set of group invertible elements H(S), that allows a study of non-regular semigroups. We then study the interplays between these new classes of semigroups, as well as with known classes of semigroups (notably inverse, orthodox and cryptic semigroups)

研究の動機と目的

• グリーンの関係 ℋ に関する逆元を用いて、古典的な半群クラス（例：逆半群、正規半群）を一般化すること。
• ℋ-逆元および群的可逆元 ℋ(S) を用いて新しい半群クラスを定義し、研究すること。
• ℋ-モジュラ逆元と既知の半群クラス（特に逆半群、正規半群、暗号的半群）との相互作用を調査すること。
• ℋ-可換性、ℋが合同であること、および ℋ(S) = Z(E(S)) を用いて完全逆半群を特徴づけること。
• ℋ が合同である役割とその半群構造への影響を明らかにすること、特に逆半群における意義を明確にすること。

提案手法

• a に関するℋ に関する同伴を、axaℋa を満たす解として定義し、ℋ に関する逆元を、axaℋa および xaxℋa を満たす解として定義する。
• 要素の逆元の構成（a′∥a）を用いてℋ-逆元を特徴づけ、axaℋa と同値であることを示す。
• グリーンの順序および関係（ℒ, ℛ, ℋ）を用いて、ℋ-類内の構造および合同性の性質を分析する。
• ℋ(a) = ℋ(a²) を用いて、群的可逆元を特徴づけ、それらを最大部分群と関連付ける。
• 完全逆半群においてℋ が合同であるための必要十分条件として、ℋ(S) = Z(E(S)) かつℋ がℋ-可換であることであることを示す。
• 自由逆半群の普遍性を用いて、完全逆半群のクラスがホモモーチズム像に関して閉じていないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 要素 a がグリーンの関係 ℋ に関して正則なペアであるとはいつであり、これは正則半群における逆元の概念をどのように一般化するか？
• RQ2 群的可逆元の集合 ℋ(S) がℋ-可換であるか、またはクライフ・半群をなす半群はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 逆半群においてグリーンの関係ℋ が合同である条件は何か、そしてこれは暗号的半群の概念とどのように関係するか？
• RQ4 ℋ-正規およびℋ-逆に閉じた半群は、古典的な半群クラス（正規半群、逆半群）とどのように関係するか？
• RQ5 完全逆半群のクラスはホモモーチズム像に関して閉じているか、そしてこれはその代数的構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 半群 S が完全逆であるための必要十分条件は、S が正則かつ ℋ(S) がℋ-可換であることである。
• 半群 S が完全逆であるための必要十分条件は、ℋ(S) がクライフ半群であることである。
• 半群 S が完全逆であるための必要十分条件は、ℋ(S) = Z(E(S)) であることである。
• 完全逆半群では、ℋ = μ = ν = ρℋ(S) が成り立つ。ここで μ はイデムポテンの分離を行う最大合同である。
• 自明な半群であるバイシクル半群は、ℋ(S) = E(S) であることから完全逆半群である。より一般に、任意の組合せ的逆半群は完全逆半群である。
• 完全逆半群のクラスは、(2,1)-代数のバリエティではない。なぜなら、ホモモーチズム像に関して閉じていないからである。例えば、自由逆半群は非完全逆逆半群へホモモーフィズム的に写像可能である。