[論文レビュー] Classical and quantum representation theory

N.P. Landsman|ArXiv.org|Nov 23, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ポアソン代数およびジョルダン-リー代数の表現論を通じて、古典的および量子力学を統一する厳密な変形量子化フレームワークを導入する。このフレームワークにより、リー代数ダルの双対（例えば、配置空間の余接 bundle または主 bundle のゲージ群系列）に関連する観測量のポアソン代数が、量子観測量の $C^*$-代数に変形可能であり、古典的にはシンプレクティック葉に対応する既約表現が、量子的には構造群のユニタリ表現に対応することが示された。

ABSTRACT

These notes present an introduction to an analytic version of deformation quantization. The central point is to study algebras of physical observables and their irreducible representations. In classical mechanics one deals with real Poisson algebras, whereas in quantum mechanics the observables have the structure of a real non-associative Jordan-Lie algebra. The non-associativity is proportional to $\pl^2$, hence for $\pl aw 0$ one recovers a real Poisson algebra. This observation lies at the basis of `strict' deformation quantization, where one deforms a given Poisson algebra into a $C^*$-algebra, in such a way that the basic algebraic structures are preserved. Our main interest lies in degenerate Poisson algebras and their quantization by non-simple Jordan-Lie algebras. The traditional symplectic manifolds of classical mechanics, and their quantum counterparts (Hilbert spaces and operator algebras which act irreducibly) emerge from a generalized representation theory. This two-step procedure sheds considerable light on the subject. We discuss a large class of examples, in which the Poisson algebra canonically associated to an (integrable) Lie algebroid is deformed into the Jordan-Lie algebra of the corresponding Lie groupoid. A special case of this construction, which involves the gauge groupoid of a principal fibre bundle, describes the classical and quantum mechanics of a particle moving in an external gravitational and Yang-Mills field.

研究の動機と目的

• 古典的および量子力学の両方における代数的構造を保ちつつ、数学的に厳密で解析的な変形量子化のバージョンを構築すること。
• リー代数ダルから対応するリー群系列への移行が量子化に対応することを示し、古典的および量子力学を統一すること。
• 古典的既約表現（シンプレクティック葉）と量子的既約表現（構造群のユニタリ表現）の間の対応を確立すること。
• ストーン＝フォンノイマンの定理を、ヤン・ミルズ場および重力場の中の粒子のような内部自由度を有する系へ一般化すること。
• 複素数の不必要使用を避ける観測量と状態に焦点を当てた、表現論的基礎を有する量子化の枠組みを提供すること。

提案手法

• 余接 bundle 上の滑らかな関数のポアソン代数を、古典的観測量代数として採用し、ポアソン括弧と点ごとの乗法を備える。
• 非可換性が $\hbar^2$ 比例するジョルダン-リー代数を、ポアソン代数の量子版として導入し、$\hbar \to 0$ の極限で元のポアソン代数に回復する。
• 既約表現の概念を適用：古典的表現はポアソン多様体のシンプレクティック葉に対応し、量子的表現は群系列 $C^*$-代数の既約ユニタリ表現に対応する。
• ゲージ群系列 $P \times_H P$ に関連するポアソン代数 $C^\infty((T^*P)/H)$ から、$C^*$-代数 $C^*(P \times_H P)$ への量子化写像を構成し、これは $C^*(Q \times Q) \otimes C^*(H)$ に同型であることを示す。
• リー代数ダルとリー群系列の双対性に依拠する：$P \times_H P$ のリー代数ダルは $(TP)/H$ であり、その双対 $\mathfrak{g}^*$ には自然なポアソン構造が備わる。
• 量子代数 $JL(P \times_H P)$ の表現論が、$JL(H)$ のそれと同型であり、各 $H$ の既約表現 $\pi_\chi$ に対して、ヒルベルト空間が $L^2(Q) \otimes \mathcal{H}_\chi$ の形に表されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および量子力学を、代数的構造を保ちながら表現論的枠組みで統一する方法は何か？
• RQ2 古典的既約表現（シンプレクティック葉）と量子的既約表現（群系列 $C^*$-代数のユニタリ表現）との正確な対応関係は何か？
• RQ3 リー代数ダルのポアソン代数の変形量子化が、量子観測量の $C^*$-代数にどのように導かれるか？
• RQ4 ゲージ群系列およびそれに関連するリー代数ダルは、外部場の中の内部自由度を有する粒子を記述するために果たす役割は何か？
• RQ5 群系列による量子化を通じて、内部自由度を有する系に対してストーン＝フォンノイマンの一意性定理を一般化できるか？

主な発見

• ゲージ群系列 $P \times_H P$ に関連する古典的観測量代数 $C^\infty((T^*P)/H)$ は、ヤン・ミルズゲージ場に結合した粒子のポアソン代数と同型である。
• 量子代数 $JL(P \times_H P) = C^*(P \times_H P)_{\rm sa}$ は $C^*(Q \times Q) \otimes C^*(H)$ に同型であり、これは $Q$ 上に存在する粒子に、ゲージ群 $H$ 由来の内部自由度を有する系を表している。
• 量子代数 $JL(P \times_H P)$ の既約表現は、$H$ の既約ユニタリ表現 $\pi_\chi$ と一対一に対応し、ヒルベルト空間は $\mathcal{H}^\chi \simeq L^2(Q) \otimes \mathcal{H}_\chi$ の形に表される。
• 古典的既約表現は、$(T^*P)/H$ のシンプレクティック葉に対応し、これは $T^*Q$ 上のファイバー束であり、ファイバーは共軛軌道 $\mathcal{O} \subset \mathfrak{h}^*$ に同型である。
• $C^\infty((T^*P)/H)$ の表現論は、リー-ポアソン構造を備えた $C^\infty(\mathfrak{h}^*)$ のそれと同型であり、古典的内部自由度が共軛軌道へ一般化された。
• 本稿では、任意のリー群系列 $G$ とそのリー代数ダル $\mathfrak{g}$ に対して、$C^\infty(\mathfrak{g}^*)$ から $JL(G) = C^*(G)_{\rm sa}$ への量子化写像が存在すると予想しており、この構成を一般枠組みへ拡張する。