[論文レビュー] Classification of fusion categories of dimension pq

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p < q$ である相異なる素数 $p, q$ に対して、Frobenius-Perron次元が $pq$ である融合カテゴリを分類し、このようなカテゴリが $p=2$ の場合に限って Tambara-Yamagami カテゴリであるか、それとも [ENO] の意味での群的であることを示している。分類は、対象の次元、群コホモロジー $H^3(G, \mathbb{C}^*)$、擬ユニタリ構造の分析に依拠しており、最終的にすべてのこのようなカテゴリが群的であることを証明する。これは、次元 $pq$ の半単純 quasi-Hopf 代数の分類にも同値である。この結果は、以前のホプフ代数に関する研究を一般化し、完全なカテゴリカルな分類を提供する。

ABSTRACT

In this paper we provide a complete classification of fusion categories of Frobenius-Perron (FP) dimension pq, where p1 and which have only one non-invertible object of dimension n.

研究の動機と目的

• 複素数体 $\mathbb{C}$ 上の融合カテゴリで、Frobenius-Perron次元が $pq$ であるもの、ただし $p<q$ は相異なる素数である、というものの完全な分類を提供すること。
• 次元 $pq$ の半単純ホプフ代数の分類を、より広い融合カテゴリの設定へと拡張すること。
• 非可逆な単純対象が整数次元 1 より大きい場合に、$q-1$ が $p$ で割り切れる必要があることを示す。
• すべてのこのような融合カテゴリが群的であることを証明することで、[EG1] や [ENO] の結果を一般化すること。
• 1次元表現が位数 $n$ の巡回群をなす、次元 $1$ と $n$ の非可約表現をもつ半単純 quasi-Hopf 代数の分類をすること。

提案手法

• 単純対象の次元を調べることで融合カテゴリを分析し、次元が整数かどうかで場合分けを行う。
• Grothendieck 環と Frobenius-Perron 次元の理論を用いて、次元 $pq$ の融合カテゴリにおける可能な構造を制約する。
• すべての単純対象が可逆である場合に、群拡大に対応するため、群コホモロジー $H^3(G, \mathbb{C}^*)$ を用いて分類を行う。
• Drinfeld 中心の構成と $\mathrm{FPdim}(Z(\mathcal{C})) = \mathrm{FPdim}(\mathcal{C})^2$ の性質を用いて、カテゴリカルな対称性を分析する。
• [EG1] の手法を一般化し、非可逆な単純対象が存在する場合、それらの次元は $p$ でなければならないことが示され、その数は $\frac{q-1}{p}$ である。
• $\mathrm{Rep}(\mathbb{F}_q^* \ltimes \mathbb{F}_q)$ の構造とコホモロジー計算を用いて、次元 $n$ の非可逆な対象が1つのみ存在するカテゴリを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius-Perron次元が相異なる素数 $p<q$ に対して $pq$ であるような、すべての融合カテゴリは何か？
• RQ2 次元 $pq$ の融合カテゴリが非整数次元の対象を含むのはいつか、そしてそれらはどのように分類されるか？
• RQ3 どのような条件下で、次元 $pq$ の融合カテゴリが群的であるか、そうでないか？
• RQ4 次元 $pq$ の半単純 quasi-Hopf 代数の分類は何か？
• RQ5 1次元の可逆な対象が巡回群をなし、非可逆な対象が1つだけで次元 $n$ であるような融合カテゴリは、どのような条件下で存在し、その数はいくつあるか？

主な発見

• $p=2$ の場合、次元 $2q$ の融合カテゴリは、ちょうど Tambara-Yamagami カテゴリであり、各奇素数 $q$ に対して正確に4つ存在する。
• すべての単純対象が可逆である場合、分類は群 $G$ の位数 $pq$ に対して $H^3(G, \mathbb{C}^*)$ の計算に帰着され、群コホモロジーによって完全に分類される。
• 単純対象が整数次元をもつがすべて1ではない場合、$q-1$ が $p$ で割り切れる必要があり、カテゴリには $p$ 個の可逆対象と $\frac{q-1}{p}$ 個の次元 $p$ の対象が存在する。
• すべてのこのような融合カテゴリは群的である。つまり、有限群の表現カテゴリとカテゴリカルに同値であり、これにより完全な分類が可能になる。
• 1次元表現が位数 $n$ の巡回群をなし、次元 $1$ と $n$ の非可約表現をもつ半単純 quasi-Hopf 代数の分類は、すべてのこのような代数が群的であることを示している。
• 可逆な対象が位数 $n>1$ の巡回群をなし、非可逆な対象が1つだけで次元 $n$ であるような融合カテゴリは、$n+1 = p^a$ が素数べきである場合にのみ存在し、その数は $n$ に応じて1、2、または3個である。