[論文レビュー] Classification of linear differential operators with an invariant subspace of monomials

Gerhard F. Post, Alexander V. Turbiner|University of Twente Research Information|Jul 21, 1993

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 2被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、単項式で張られる有限次元不変部分空間を不変に保つ線形微分作用素の完全な分類を提示する。Euler作用素 $x\partial$ を用いた因数分解的手法により、このような作用素は $x^m(x\partial - \alpha_i)$ の積として表現可能であり、2階作用素の完全な特徴付けが得られるとともに、準正確に可解なシュレーディンガー方程式との関係が明らかになる。

ABSTRACT

A complete classification of linear differential operators possessing finite-dimensional invariant subspace with a basis of monomials is presented.

研究の動機と目的

• 単項式で張られる有限次元部分空間を不変に保つすべての線形微分作用素を分類すること。
• 多項式列ではなく単項式基底に注目することで、古典的Bochner問題を一般化すること。
• Euler作用素 $x\partial$ 及びその固有値性質を用いた構造的分類を確立すること。
• ゲージ変換および変数変換を通じて、準正確に可解なシュレーディンガー方程式への影響を調査すること。
• 実数乗数および非整数乗数の基底を持つ場合にまで分類を拡張し、その場合に現れる代数的構造を保ちながら行うこと。

提案手法

• 微分作用素を無限次形式 $T = \sum_{i=0}^\infty P_i \partial^i$ として表現し、単項式基底を不変に保つ有限次作用素に制限する。
• $\mathbb{C}[x]$ の次数による階格を用いて、作用素 $T$ の次数 $m$ を $T(x^k) \in \langle x^{k+m}\rangle$ により定義する。
• 補題3.1を適用し、次数 $m$ で順序 $k$ の斉次作用素を $T = c_k x^m (x\partial - \alpha_1)\cdots(x\partial - \alpha_k)$ と因数分解する。
• $I^{(m)} = \{i \in I \mid i+m \notin I\}$ を定義し、作用素分解における項の台を特徴付ける。
• ゲージ変換 $T \mapsto x^l T x^{-l}$ および変数変換 $x' = x^m$ を用いて、異なる不変部分空間を関連づけ、代数的構造を保つ。
• 正負の次数項の対称性を満たすように2階作用素 $T_2$ を明示的に構成し、$|I^{(m)}| = |I^{(-m)}|$ を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの線形微分作用素が単項式で張られる有限次元部分空間を不変に保つのか？
• RQ2 Euler作用素 $x\partial$ の構造を用いて、このような作用素をどのように完全に分類できるか？
• RQ3 単項式不変部分空間を有する2階微分作用素の明示的形は何か？
• RQ4 ゲージ変換および変数変換は、異なる不変部分空間をどのように関連づけ、作用素代数の構造をどのように保つのか？
• RQ5 分類を実数乗数を持つ部分空間へ拡張できるか？その場合にどのような代数的構造が現れるのか？

主な発見

• 単項式基底 $V = \langle x^{i_1}, \dots, x^{i_n}\rangle$ を不変に保つすべての線形微分作用素は、$x^m(x\partial - \alpha_i)$ への因数分解により完全に分類可能である。
• 2階作用素に関しては、最も一般な形は $T_2 = \alpha_1 x^m(x\partial - i_1)(x\partial - i_2) + \alpha_2 x^2\partial^2 + \alpha_3 x\partial + \alpha_4 + \alpha_5 x^{-m}(x\partial - i_{2r-1})(x\partial - i_{2s})$ であり、$m$ と $-m$ の項の間に対称性が存在する。
• $V$ を不変に保つ作用素の代数 $\mathfrak{D}_V$ は、$\operatorname{End}(V)$ と $V$ を零化する作用素のイデアルの半直積に同型であり、$\mathfrak{D}_V$ は階格である。
• $V = \langle 1, x, x^3 \rangle$ の場合、代数 $\mathfrak{D}_V$ は無限次元であり、11個の1～3階の微分作用素によって有限生成され、交換子は生成子に関する3次多項式として表現可能である。
• 実数乗数を用いた $\mathbb{C}[x^\alpha]$ を通じて分類を拡張可能であり、$T = \sum_{i=0}^k c_i x^{i+m} \partial^i$（$m \in \mathbb{R}$）の形をとり、補題6.1により同じ因数分解が成り立つことが確認される。
• ゲージ変換 $T \mapsto x^l T x^{-l}$ および $x' = x^m$ の変換により、変換された部分空間 $W$ に対する $\mathfrak{D}_V$ と $\mathfrak{D}_W$ の間に同型が誘導され、代数的構造が保たれる。