[論文レビュー] Classification of stable model categories

Stefan Schwede, Brooke Shipley|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 46被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな生成子が1つのみである安定モデル圏が環スペクトル上の加群の圏とクィレン同値であることを示し、一般にコンパクト生成子の集合をもつものはスペクトル的図式圏（複数の対象をもつ環スペクトル上の加群）と同値であることを分類する。主な貢献は、安定ホモトピー論におけるモラータ型定理の確立であり、ガブリエルの定理とリッカードの定理をスペクトルおよびモデル圏の文脈に一般化したものである。

ABSTRACT

A stable model category is a setting for homotopy theory where the suspension functor is invertible. The prototypical examples are the category of spectra in the sense of stable homotopy theory and the category of unbounded chain complexes of modules over a ring. In this paper we develop methods for deciding when two stable model categories represent `the same homotopy theory'. We show that stable model categories with a single compact generator are equivalent to modules over a ring spectrum. More generally stable model categories with a set of generators are characterized as modules over a `ring spectrum with several objects', i.e., as spectrum valued diagram categories. We also prove a Morita theorem which shows how equivalences between module categories over ring spectra can be realized by smashing with a pair of bimodules. Finally, we characterize stable model categories which represent the derived category of a ring. This is a slight generalization of Rickard's work on derived equivalent rings. We also include a proof of the model category equivalence of modules over the Eilenberg-Mac Lane spectrum HR and (unbounded) chain complexes of R-modules for a ring R.

研究の動機と目的

• 安定モデル圏の文脈において、ガブリエルの加群圏に関する定理のホモトピー論的一般化を構築すること。
• クィレン同値を用いて、2つの安定モデル圏が同じホモトピー理論を表す条件を同定すること。
• 環の古典的モラータ理論を、環スペクトルおよびその加群圏の文脈に拡張すること。
• 環のリッカードの導来同値定理を、安定モデル圏の文脈に一般化すること。
• Eilenberg-Mac Lane スペクトル HR 上の加群と、R-加群の非有界チェーン複体の圏の間の正確なクィレン同値を確立すること。

提案手法

• 安定モデル圏におけるコンパクト生成子の自己準同型スペクトル環を定義し、その加群圏が元のモデル圏と同値であるような環スペクトルを構成する。
• 豊富な構造とモノイダル構造を保証するため、対称スペクトルをスペクトルの基礎的モデルとして用いる。
• 有限集合と単射のなす圏 I を用いて、ホモトピー余極限を用いて、対称スペクトルから対称スペクトルへのスペクトル的関手 M と D を構成する。
• スモージング積とホモトピー余極限を用いて、検出関手 D を定義し、安定同値を検出できることを示す。
• Γ-空間の延長と制限を用いて、対称スペクトル X から対称スペクトル EX を構成し、連結的 Ω-スペクトルに対して β²_X がレベル同値であることを証明する。
• X からその Eilenberg-Mac Lane Γ-空間への標準的写像の延長を用いて、自然な写像 γ_X: EX → Hπ₀X を構成し、ホモトピー群と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定モデル圏が環スペクトル上の加群の圏とクィレン同値になるのはいつか？
• RQ2 スペクトル的圏を用いて、コンパクト生成子の集合をもつ安定モデル圏をどのように分類できるか？
• RQ3 2つの環スペクトル上の加群圏の間でクィレン同値が成立するための条件は何か？
• RQ4 リッカードの導来同値定理は、安定モデル圏の文脈にどのように一般化されるか？
• RQ5 HR-加群と R-加群の非有界チェーン複体の圏の間の正確なクィレン同値は何か？

主な発見

• コンパクト生成子が1つのみである安定モデル圏は、その生成子の自己準同型スペクトル環上の加群の圏とクィレン同値である。
• コンパクト生成子の集合をもつ安定モデル圏は、スペクトル的圏（複数の対象をもつ環スペクトル）上の加群の圏とクィレン同値である。
• モラータ型定理が確立された：環スペクトル上の加群圏の間のクィレン同値は、双加群を用いたスモージングによって実現される。
• 任意の環 R に対して、HR-加群のモデル圏は、R-加群の非有界チェーン複体の圏とクィレン同値である。
• 安定的にファイブレーション的でかつ連結的な対称スペクトルに対して、合成写像 β_X: EX → MX はレベル同値であり、重要なホモトピー同値を確立する。
• スペクトル的関手 D は安定同値を検出でき、安定的にファイブレーション的なスペクトルに対して写像 β¹_X: DX → MX はレベル同値である。