[論文レビュー] Classification of tetravalent $2$-transitive non-normal Cayley graphs of finite simple groups

Xin Fang, Jie Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限単純群の連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフを分類し、唯一の例外としてマチュー群M11がこのようなグラフをもつこと、具体的には同型でない2つの例しか存在しないことを証明している。本研究は、長年の未解決問題を解決し、PSL₂(11)、M23、A11といった他の候補群では、このような正規でないカイリーグラフが存在しないことを示しており、有限単純群の連結な四価2重推移的カイリーグラフの自己同型群を完全に特定している。

ABSTRACT

A graph $\Gamma$ is called $(G, s)$-arc-transitive if $G \le \mathrm{Aut}(\Gamma)$ is transitive on the set of vertices of $\Gamma$ and the set of $s$-arcs of $\Gamma$, where for an integer $s \ge 1$ an $s$-arc of $\Gamma$ is a sequence of $s+1$ vertices $(v_0,v_1,\ldots,v_s)$ of $\Gamma$ such that $v_{i-1}$ and $v_i$ are adjacent for $1 \le i \le s$ and $v_{i-1} e v_{i+1}$ for $1 \le i \le s-1$. $\Gamma$ is called 2-transitive if it is $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 2)$-arc-transitive but not $(\mathrm{Aut}(\Gamma), 3)$-arc-transitive. A Cayley graph $\Gamma$ of a group $G$ is called normal if $G$ is normal in $\mathrm{Aut}(\Gamma)$ and non-normal otherwise. It was proved by X. G. Fang, C. H. Li and M. Y. Xu that if $\Gamma$ is a tetravalent 2-transitive Cayley graph of a finite simple group $G$, then either $\Gamma$ is normal or $G$ is one of the groups $\mathrm{PSL}_2(11)$, $M_{11}$, $M_{23}$ and $A_{11}$. However, it was unknown whether $\Gamma$ is normal when $G$ is one of these four groups. In the present paper we answer this question by proving that among these four groups only $M_{11}$ produces connected tetravalent 2-transitive non-normal Cayley graphs. We prove further that there are exactly two such graphs which are non-isomorphic and both determined in the paper. As a consequence, the automorphism group of any connected tetravalent 2-transitive Cayley graph of any finite simple group is determined.

研究の動機と目的

• 有限単純群に対して、正規でない四価2重推移的カイリーグラフが存在するかという未解決問題を解消すること。
• 有限単純群のすべての連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフを分類すること。特に、PSL₂(11)、M11、M23、A11という4つの例外的群について。
• 有限単純群の連結な四価2重推移的カイリーグラフの自己同型群を完全に特定すること。
• 唯一M11がこのような非正規グラフを生成することを証明し、その結果得られる2つの同型でないグラフを構成し、区別すること。

提案手法

• 自己同型群における頂点安定化部分群と正規部分群の解析に、群作用理論と商グラフ解析を用いる。
• 自己同型群A = GAαの構造を解析するため、準素性群作用理論とsocle分解を応用する。
• GAPを用いた計算により、T = M11、M12、A12に対して、補題2.3の条件を満たす2次元元が存在しないことを検証する。
• M12の部分集合∆1と∆2を用いて、2つの候補グラフΓ(∆1)とΓ(∆2)を構成し、その近傍構造を分析する。
• 頂点α = S4における近傍集合Γi(α)を用いた同型不変量を用いて、Γ(∆1)とΓ(∆2)が同型でないことを証明する。
• 既知の結果[2, 定理1.1]および[3, 事実2.3]を活用し、対称群における自己同型群の正規化群と中心化群を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限単純群の中でM11以外に、連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフが存在するか？
• RQ2 PSL₂(11)、M11、M23、A11という4つの例外的群のうち、連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフをもつのはどれか？
• RQ3 有限単純群の連結な四価2重推移的カイリーグラフの自己同型群は何か？
• RQ4 2つの候補グラフΓ(∆1)とΓ(∆2)は同型でないか？その証明はどのように行えるか？

主な発見

• すべての有限単純群の中で、唯一マチュー群M11が連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフをもつ。
• 同型でない2つのこのようなグラフが存在し、両方ともM12の部分群から構成されており、Γ(∆1)とΓ(∆2)と表記される。
• 各グラフの自己同型群はM12:2に同型であり、頂点安定化部分群はS4に同型である。
• 頂点S4における近傍が異なるため、Γ(∆1)とΓ(∆2)は同型でない。
• PSL₂(11)、M23、A11を含む、他のすべての有限単純群では、連結な四価2重推移的で正規でないカイリーグラフは存在しない。
• 任意の有限単純群の連結な四価2重推移的カイリーグラフの自己同型群は、完全に特定された：正規の場合にはG.A4またはG.S4、非正規の場合（G = M11）にはM12:2である。