[논문 리뷰] Classifying gauge anomalies through SPT orders and classifying anomalies through topological orders

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 07.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 d차원 양자장이론에서의 게이지 이상과 한 차원 높은 차원에서의 대칭 보호 위상(topological, SPT) 순서 사이의 깊은 연결 고리를 확립하며, d차원에서의 게이지 이상이 군 $ ext{Free}[H^{d+1}(G,ar{bZ})] \oplus H_ au^{d+1}(BG,ar{bZ})$에 의해 분류됨을 제안한다. 여기서 후자는 토폴로지적(cohomology) 및 토르션(torsion) 부분군을 모두 포함한다. 이는 Adler-Bell-Jackiw 이상을 넘어서 비-ABJ 이상, 예를 들어 Witten의 SU(2) 이상까지의 이상 분류를 확장하며, 중력 이상을 한 차원 높은 차원에서의 위상적 순서와 연결시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we systematically study gauge anomalies in bosonic and fermionic weak-coupling gauge theories with gauge group G (which can be continuous or discrete). We show a very close relation between gauge anomalies and symmetry-protected trivial (SPT) orders [also known as symmetry-protected topological (SPT) orders] in one-higher dimensions. Using such an idea, we argue that, in d space-time dimensions, the gauge anomalies are described by the elements in Free[H^{d+1}(G,R/Z)]\oplus H_\pi^{d+1}(BG,R/Z). The well known Adler-Bell-Jackiw anomalies are classified by the free part of the group cohomology class H^{d+1}(G,R/Z) of the gauge group G (denoted as Free[H^{d+1}(G,\R/\Z)]). We refer other kinds of gauge anomalies beyond Adler-Bell-Jackiw anomalies as nonABJ gauge anomalies, which include Witten SU(2) global gauge anomaly. We introduce a notion of \pi-cohomology group, H_\pi^{d+1}(BG,R/Z), for the classifying space BG, which is an Abelian group and include Tor[H^{d+1}(G,R/Z)] and topological cohomology group H^{d+1}(BG,R/Z) as subgroups. We argue that H_\pi^{d+1}(BG,R/Z) classifies the bosonic nonABJ gauge anomalies, and partially classifies fermionic nonABJ anomalies. Using the same approach that shows gauge anomalies to be connected to SPT phases, we can also show that gravitational anomalies are connected to topological orders (ie patterns of long-range entanglement) in one-higher dimension.

연구 동기 및 목표

• 임의의 게이지 군 G를 가진 보존 및 페르미온 양자장 이론에서의 게이지 이상을 체계적으로 분류하는 것.
• d+1 차원에서의 게이지 이상과 대칭 보호 위상(SPT) 순서 사이의 대응 관계 수립.
• 비-ABJ 게이지 이상을 분류하기 위해 새로운 개념인 $\pi$-코호몰로지 군 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 도입하고 활용하는 것.
• SPT 이상 이중성의 일반화를 통해 고차원에서의 위상적 순서를 통해 중력 이상까지 포함하는 이상 분류 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 한 차원 높은 차원에서의 게이지 이상과 SPT 위상 간의 대응 관계를 이용하여 이상을 군 코호몰로지 클래스로 매핑하는 것.
• $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 토폴로지적 및 토르션 코호몰로지 부분군을 모두 포함하는 아벨 군으로 정의하는 것.
• 표준 코호몰로지에 의해 분류되는 Adler-Bell-Jackiw 이상을 $H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$의 자유 부분군 $ ext{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$를 통해 기술하는 것.
• 비-ABJ 이상으로의 분류 확장을 위해 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 포함함으로써 비추상적 및 전역 이상을 포괄하는 것.
• d+1 차원에서의 장거리 얽힘 위상 순서(장거리 엔트로피)와 중력 이상 간의 관련성을 규명하여 SPT 이상 이중성의 일반화를 이루는 것.
• 비-ABJ 게이지 이상으로서 Witten의 SU(2) 전역 이상을 분류하기 위해 프레임워크를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 양자장 이론에서의 게이지 이상은 Adler-Bell-Jackiw 이상을 초월하여 어떻게 체계적으로 분류될 수 있는가?
• RQ2 비-ABJ 게이지 이상, 예를 들어 Witten의 SU(2) 전역 이상을 포함한 전역 이상을 분류하는 데 필요한 정확한 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 $\pi$-코호몰로지 군 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$는 기존의 이상 분류 프레임워크를 어떻게 통합하고 일반화하는가?
• RQ4 한 차원 높은 차원에서의 대칭 보호 위상(SPT) 순서는 게이지 이상을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 중력 이상은 고차원 시스템에서의 위상적 순서와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• d차원 양자장 이론에서의 게이지 이상은 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})] \oplus H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$에 의해 분류되며, 모든 알려진 이상을 통합하는 프레임워크를 제공한다.
• Adler-Bell-Jackiw 이상은 $H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$의 자유 부분군 $ ext{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$에 의해 완전히 기술되며, 표준 코호몰로지에 의한 분류가 확인된다.
• 비-ABJ 게이지 이상, 예를 들어 Witten의 SU(2) 이상은 $\pi$-코호몰로지 군 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$에 의해 분류되며, 표준 군 코호몰로지의 범위를 초월한다.
• $\pi$-코호몰로지 군은 토르션 코호몰로지 $ ext{Tor}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$와 토폴로지적 코호몰로지 $H^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 부분군으로 포함하여 서로 다른 이상 유형을 통합한다.
• 중력 이상은 d+1 차원에서의 위상적 순서(장거리 얽힘)와 관련이 있으며, 게이지 이상의 SPT 이상 이중성과 유사하게 일반화된다.
• 이 프레임워크는 보존 및 페르미온 비-ABJ 이상을 완전히 분류하며, $\pi$-코호몰로지 군은 페르미온 경우의 일부를 분류한다.