[論文レビュー] Closed self-shrinking surfaces in $\mathbb{R}^3$ via the torus

Niels Martin Møller|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、アンジェンティの自己収縮トーラスと球面の直和を、カポウレアスの最小曲面理論にインspiredされたグルーピング構成によって、desingularizationにより、$\mathbb{R}^3$ 内の高 genus $g = 2k$ の閉じた埋め込み平均曲率自己収縮曲面を構成する。得られた曲面は位数 $2g$ の対称性をもち、2つの既知の自己収縮曲面の直和に収束し、定量的安定性推定と $e$-geodesic 曲線に近い境界上のノイマン境界条件を用いて、その存在が証明される。

ABSTRACT

We construct many closed, embedded mean curvature self-shrinking surfaces $Σ_g^2\subseteq\mathbb{R}^3$ of high genus $g=2k$, $k\in \mathbb{N}$. Each of these shrinking solitons has isometry group equal to the dihedral group on $2g$ elements, and comes from the "gluing", i.e. desingularizing of the singular union, of the two known closed embedded self-shrinkers in $\mathbb{R}^3$: The round 2-sphere $\mathbb{S}^2$, and Angenent's self-shrinking 2-torus $\mathbb{T}^2$ of revolution. This uses the results and methods N. Kapouleas developed for minimal surfaces in \cite{Ka97}--\cite{Ka}.

研究の動機と目的

• 既知の球面とアンジェンティのトーラス以外の、$\ mathbb{R}^3$ 内の新しい閉じた埋め込み平均曲率自己収縮曲面を構成すること。
• カポウレアスの最小曲面理論におけるグルーピング技法を、平均曲率流れにおける自己収縮曲面の文脈へと拡張すること。
• 位数 $2g$ の対称性をもつ高 genus 自己収縮曲面の存在を確立し、$\ mathbb{S}^2$ と $\ mathbb{T}^2$ の直和への制御された収束を示すこと。
• グルーピング手順を可能にするために、摂動されたトーラス上で線形化安定性作用素の非退化条件 (N1') と安定性推定を検証すること。

提案手法

• カポウレアスの最小曲面用 desingularization 法を自己収縮曲面の文脈に適応し、球面とアンジェンティのトーラスをそれらの交線に沿ってグルーピングすることで自己収縮曲面を構成する。
• 反射による二重化の滑らかさを保証するため、トーラスと対称面の交線における円周上にノイマン境界条件を適用する。
• 摂動されたトーラス上での安定性作用素 $\mathcal{L} = \Delta + |A|^2 + \operatorname{Ric}(\nu,\nu)$ の定量的推定を用いて、非退化性と可解性を検証する。
• $\delta$-近い固有関数および $\eta$-geodesic における誤差伝播を制御するために、グロンウォール＝ベルマン不等式を適用する。
• 近似誤差 ($\varepsilon_i^{B/T}, \delta_i^{B/T}$) に $10^{-1}$ から $10^{-3}$ のレベルでの境界を用いた、ジャコビ場の位置の厳密な数値的検証に依拠する。
• ハウスドルフ位相における収束および交線2本を除く局所的滑らかさ収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ mathbb{R}^3$ 内で、球面とアンジェンティのトーラス以外の閉じた埋め込み自己収縮曲面を、高 genus に対して構成可能か？
• RQ2 対称性と安定性推定に基づくグルーピング構成によって、所望の対称性をもつ埋め込み自己収縮曲面が得られるか？
• RQ3 摂動されたトーラス上でノイマン条件の下で線形化安定性作用素の非退化性を検証可能か？
• RQ4 グルーピング枠組みで $\delta$-固有関数および $\eta$-geodesic の存在を保証するために必要な定量的推定は何か？
• RQ5 得られた曲面は、$\ mathbb{S}^2$ と $\ mathbb{T}^2$ の直和にどのように収束するか？

主な発見

• 十分に大きな偶数 genus $g = 2k$, $k \in \mathbb{N}$ に対して、$\ mathbb{R}^3$ 内の genus $g$ のコンパクトで、埋め込みで滑らかな自己収縮曲面 $\Sigma_g^2 \subset \mathbb{R}^3$ が存在する。
• 構成された曲面 $\Sigma_g^2$ は位数 $2g = 4k$ の対称群による不変性をもつ。
• 列 $\{\Sigma_g^2\}$ は Hausdorff 位相で直和 $\mathbb{S}^2 \cup \mathbb{T}^2$ に収束し、2つの交線を除く領域で局所的滑らかさ収束を示す。
• その存在は、誤差項の定量的制御のもとで摂動されたトーラス上でのノイマン非退化条件 (N1') を検証することに依拠する。
• グロンウォール＝ベルマン不等式とテスト関数の数値的検証により、図中のジャコビ場の位置が $\mathcal{O}(10^{-1})$ から $\mathcal{O}(10^{-3})$ の誤差範囲内で正確であることが確認された。
• 初期条件が一致するように、$|G'(1/2) - g'(1/2)| \leq 813|U(0) - u(0)| + 86\varepsilon_1^B + 3\varepsilon_2^B + \frac{95}{27}\delta_1^B + (\sqrt{2} - a_0)\delta_2^B$ および同様の値に関する境界を満たすことで、構成が成功した。