[論文レビュー] Cluster states, algorithms and graphs

Dirk Schlingemann|ArXiv.org|May 28, 2003

Graph Theory and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、クラスタ状態—測定ベース量子計算の主要な資源—をグラフ符号と安定化子形式を用いて完全に特徴づけ、操作可能であることを示すことにより、1方向量子計算のためのグラフ理論的枠組みを確立する。Clifford群量子アルゴリズムが明示的かつ計算可能なグラフ変換に対応することを示し、位相空間の平行移動を用いて測定結果を明示的に補正可能であることを示す。これにより、グラフ理論的演算を通じて量子エラー訂正と測定ベース量子計算が統合される。

ABSTRACT

The present paper is concerned with the concept of the one-way quantum computer, beyond binary-systems, and its relation to the concept of stabilizer quantum codes. This relation is exploited to analyze a particular class of quantum algorithms, called graph algorithms, which correspond in the binary case to the Clifford group part of a network and which can efficiently be implemented on a one-way quantum computer. These algorithms can ``completely be solved" in the sense that the manipulation of quantum states in each step can be computed explicitly. Graph algorithms are precisely those which implement encoding schemes for graph codes. Starting from a given initial graph, which represents the underlying resource of multipartite entanglement, each step of the algorithm is related to a explicit transformation on the graph.

研究の動機と目的

• 1方向量子計算とクラスタ状態を用いたグラフ理論的変換の間の直接的な対応関係を確立すること。
• Clifford群アルゴリズムが、回路ベースの分解を回避して明示的なグラフ操作により完全に計算・シミュレート可能であることを示すこと。
• 1方向モデルにおける測定結果が、グラフ構造から導かれる位相空間の平行移動を用いて明示的に補正可能であることを示すこと。
• クラスタ状態が安定化子形式下でグラフ符号と等価であることを示すことにより、安定化子量子符号とグラフ符号を統合すること。
• 測定頂点をグラフから除去する体系的な手法を提供し、量子アルゴリズムの実装を簡略化すること。

提案手法

• 本稿は、クビット間の相互作用パターンを表す対称的隣接行列 Λ を用いて、クラスタ状態をグラフ符号としてモデル化する。
• 安定化子形式を用いて、相関演算子を含む固有値方程式によりクラスタ状態を特徴づけ、安定化子群を生成する。
• 局所的ヴァン・ネウマン測定をパウリ固有基底で実行し、測定結果はグラフ構造から導かれる明示的ユニタリ操作で補正する。
• ブロック行列の逆行列計算技術を導入し、補正用の位相空間平行移動を計算する。ここで、(Γ − Z_LΛ)_{JM}^{IKM} の右逆行列を用いる。
• 本手法により、定理7を用いて測定頂点を逐次的にグラフから除去可能であり、入力・出力・残余フーリエ変換を有する最小形に縮小可能である。
• この枠組みにより、任意のCliffordアルゴリズムがグラフ変換の系列としてシミュレート可能であり、すべての操作が閉形式で計算可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1方向量子アルゴリズムは、どのようにグラフ理論的演算を用いて体系的に表現・計算可能か？
• RQ2 クラスタ状態、安定化子符号、グラフ符号の間の明確な数学的関係は何か？
• RQ3 1方向モデルにおける測定結果は、グラフ構造と線形代数のみを用いて明示的に補正可能か？
• RQ4 測定頂点は、論理的量子操作を保存する形でどのようにグラフから除去可能か？
• RQ5 グラフ変換が1方向モデルにおける有効な量子アルゴリズムに対応するための条件は何か？

主な発見

• クラスタ状態は、安定化子形式下でグラフ符号と等価であり、隣接行列 Λ が相互作用パターンと符号の安定化子生成子の両方を定義する。
• クラスタ状態の安定化子群は、各クビット i に対して作用する安定化子演算子 ∏j∈I z_j^Λ(j,i) x_i を含む相関演算子によって生成される。
• 標準的なX基底測定後に得られる状態も安定化子符号のままであり、その安定化子群はグラフ操作により明示的に計算可能である。
• 測定結果は、a^J = Γ^J_{JM} (Γ − Z_LΛ)^{-1}_{IKM} p^{IKM} および b^J = (Γ − Z_LΛ)^{-1}_{IKM} p^{IKM} で与えられる位相空間平行移動により補正される。ここで逆行列はブロック行列の右逆行列である。
• 測定頂点は定理7を用いて逐次的に除去可能であり、入力頂点 I、出力頂点 O、残余局所フーリエ変換 F_k を有する簡略化されたグラフ Γ_k に到達する。
• 最終的なアルゴリズム的演算は、縮小されたグラフ Γ_k に符号化されており、頂点の除去順序に依存しない（局所ユニタリを除いて）。このグラフは計算の本質的論理を捉えている。