[論文レビュー] CM values of automorphic Green functions on orthogonal groups over totally real fields

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、調和Whittaker形式の正則化theta畳み込みを用いて、任意の完全実数体上の直交群における自動形式グリーン関数のCM値を計算するため、Gross-ZagierおよびSchoferの枠組みを拡張する。これにより、有理型モジュラー形式のCM値のノルムに対する明示的な有限公式が得られ、基礎体のすべての埋め込みにおけるアーキメデス的高さペアリングが解消される。

ABSTRACT

Generalizing work of Gross--Zagier and Schofer on singular moduli, we study the CM values of regularized theta lifts of harmonic Whittaker forms. We compute the archimedian part of the height pairing of arithmetic special divisors and CM cycles on Shimura varieties associated to certain quadratic spaces over an arbitrary totally real base field. As a special case, we obtain an explicit formula for the norms of the CM values of those meromorphic modular forms arising as regularized theta lifts of holomorphic Whittaker forms.

研究の動機と目的

• 任意の完全実体上で、特異モジュラーのGross-ZagierおよびSchoferの結果を、直交群上の自動形式グリーン関数のCM値へ一般化すること。
• 完全実体上のシムーラ多様体における算術的特別な除集合とCMサイクル間の高さペアリングのアーキメデス的部品を計算すること。
• 正則化theta畳み込みによって得られる正則なWhittaker形式から生じる有理型モジュラー形式のCM値のノルムに対する有限で明示的な公式を導出すること。
• Koecherの原理の障害を調和Whittaker形式を用いて克服することで、Qを超える数体へのBorcherds積および正則化theta畳み込みの理論を拡張すること。

提案手法

• 調和Whittaker形式の正則化theta畳み込みを入力として用い、完全実体上の直交群における有理型モジュラー形式および自動形式グリーン関数を構成する。
• シー・サーフ双対性およびSiegel-Weil公式を適用し、自動形式グリーン関数をRankin-Selberg L関数と関連付ける。
• 基礎体のすべての実埋め込みにおけるアーキメデス的高さペアリングの積分表現を構成し、各場所からの局所的寄与を含む。
• すべての実埋め込みにおける局所的アーキメデス的高さを段階的に組み合わせ、CM値のノルムに対するグローバルに有限な表現を得る。
• Eisenstein級数 $\mathcal{E}_N^{(0)}$ のフーリエ展開および次数公式 $\deg Z(\mathcal{O}_k) = \frac{4}{w_k} h_k$ を用いて、主公式における指数関数的項を評価する。
• 類数およびリグレーターの公式を用いて中心電荷項を簡略化し、定数 $C=1$ を持つ洗練された表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体上の直交群における自動形式グリーン関数のCM値は、Gross-ZagierおよびSchoferの結果を拡張して明示的に計算可能か？
• RQ2 一般の完全実体上での、算術的特別な除集合とCMサイクル間の高さペアリングに対するアーキメデス的寄与は何か？
• RQ3 調和Whittaker形式の正則化theta畳み込みは、制御可能なCM値を持つ有理型モジュラー形式を構成するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 局所的積分が個別には評価不能であるにもかかわらず、このようなモジュラー形式のCM値のノルムに対する有限で閉形式の表現は存在するか？

主な発見

• CMサイクル $Z(\mathcal{O}_{-3}) = \frac{2}{3}P_3$ における有理型モジュラー形式 $\tilde{t}$ のCM値のノルムは $2^{12} \cdot 3^6$ であり、定数 $C=1$ を用いた公式と一致する。
• $\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d)$ に対するCMサイクルでは、ノルム $\operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}\tilde{t}(\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d))$ は素数に関する有限積として与えられ、$d = -8, -11, -15, -19, -23$ および他の値について明示的な値が計算されている。
• $Z(\mathcal{O}_d)$ における $\tilde{t}$ のノルムの公式は $C^{\deg Z(W)} \exp\left(-\frac{\deg Z(W)}{4} \operatorname{CT}\langle\mathcal{P}, \Theta_P \otimes \mathcal{E}_N^{(0)}\rangle\right)$ であり、$C=1$ である。これは $d=-3$ の場合から導出される。
• $\tilde{t}_{-8}(z) = \tilde{t}(z) - \tilde{t}(P_8)$ のCM点におけるCM値は、Elkiesの数値データと一致し、手法の妥当性が裏付けられる。
• $d = -8$ の場合、ノルムは $\frac{2^{12} \cdot 7^9 \cdot 167^6 \cdot 239^6}{13^{21}}$ であり、$d = -11$ の場合、$\frac{2^{18} \cdot 7^9 \cdot 11^3 \cdot 43^6 \cdot 127^6 \cdot 139^6 \cdot 307^6 \cdot 659^6}{13^{21} \cdot 83^{21}}$ である。これにより公式が確認される。
• 本手法は、$\mathcal{O}_F$ で分解し、2で非分岐な $k_d/F$ を持つ、6個の有理素数 $p \leq 1000$ に対してCM値を正しく計算でき、$p = 167, 239, 251$ を含む明示的な有理数ノルムが得られている。