[論文レビュー] Co-Degeneracy and Co-Treewidth: Using the Complement to Solve Dense Instances

Johan M. M. van Rooij, Hans L. Bodlaender+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、高速部分集合畳み込みの一般化と高速行列乗算の統合により、木分解、ブランチ分解、クリーク分解における動的計画法のアルゴリズムを高速化する。木分解における支配集合問題に対してO*(3^k)時間、ブランチ分解における完全マッチングの数え上げに対してO*(2^k)時間、クリーク分解における全支配集合問題に対してO*(4^k)時間のアルゴリズムを達成し、従来の境界を改善し、強い指数時間仮説の下での理論的限界に近づいた。

ABSTRACT

Clique-width and treewidth are two of the most important and useful graph parameters, and several problems can be solved efficiently when restricted to graphs of bounded clique-width or treewidth. Bounded treewidth implies bounded clique-width, but not vice versa. Problems like Longest Cycle, Longest Path, MaxCut, Edge Dominating Set, and Graph Coloring are fixed-parameter tractable when parameterized by the treewidth, but they cannot be solved in FPT time when parameterized by the clique-width unless FPT = W[1], as shown by Fomin, Golovach, Lokshtanov, and Saurabh [SIAM J. Comput. 2010, SIAM J. Comput. 2014]. For a given problem that is fixed-parameter tractable when parameterized by treewidth, but intractable when parameterized by clique-width, there may exist infinite families of instances of bounded clique-width and unbounded treewidth where the problem can be solved efficiently. In this work, we initiate a systematic study of the parameters co-treewidth (the treewidth of the complement of the input graph) and co-degeneracy (the degeneracy of the complement of the input graph). We show that Longest Cycle, Longest Path, and Edge Dominating Set are FPT when parameterized by co-degeneracy. On the other hand, Graph Coloring is para-NP-complete when parameterized by co-degeneracy but FPT when parameterized by the co-treewidth. Concerning MaxCut, we give an FPT algorithm parameterized by co-treewidth, while we leave open the complexity of the problem parameterized by co-degeneracy. Additionally, we show that Precoloring Extension is fixed-parameter tractable when parameterized by co-treewidth, while this problem is known to be W[1]-hard when parameterized by treewidth. These results give evidence that co-treewidth is a useful width parameter for handling dense instances of problems for which an FPT algorithm for clique-width is unlikely to exist. Finally, we develop an algorithmic framework for co-degeneracy based on the notion of Bondy-Chvátal closure.

研究の動機と目的

• グラフ分解における動的計画法アルゴリズムの指数的時間計算量の改善を図ること。
• 有界な木幅、ブランチ幅、クリーク幅を持つグラフにおけるNP困難問題の実行時間の指数的係数の低減を図ること。
• 高速部分集合畳み込みを複数の状態とランクと組み合わせた一般化されたフレームワークを構築し、効率的な動的計画法を実現すること。
• 改善された実行時間が、強い指数時間仮説の下で理論的下界に近いか、一致することを示すこと。

提案手法

• 複数の状態と複数のランクをサポートするように高速部分集合畳み込みを一般化し、動的計画法テーブル上の効率的計算を可能にする。
• 一般化された部分集合畳み込み技術を木分解、ブランチ分解、クリーク分解に適用し、状態遷移の高速化を図る。
• ブランチ分解およびクリーク分解における動的計画法の効率性を向上させるために、非対称な頂点状態を導入する。
• Dornの手法にインspiredして、一般化された部分集合畳み込みと高速行列乗算を組み合わせ、計算をさらに高速化する。
• 正規化された動的計画法テーブルとde Fluiterの性質を用いて、同値類の数を制限し、有限状態表現を保証する。
• グラフ分解の構造を活用して状態空間を削減し、支配集合や完全マッチングの数え上げといった問題の計算を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ分解の文脈において、高速部分集合畳み込みを複数の状態とランクをサポートするように一般化できるか？
• RQ2 木分解における動的計画法で達成可能な最小の指数的係数は何か？ また、実用的なアルゴリズムでその値を達成できるか？
• RQ3 ブランチ分解における高速行列乗算を部分集合畳み込みと統合することで、実行時間をどれほど向上できるか？
• RQ4 改善された実行時間が、強い指数時間仮説の下でどの程度理論的下界に近づくか？
• RQ5 このフレームワークは、木分解、ブランチ分解、クリーク分解のすべてに一様に適用可能であり、広範な問題クラスに対してほぼ最適なアルゴリズムを提供できるか？

主な発見

• 本稿では、幅kの木分解における支配集合問題に対してO*(3^k)時間のアルゴリズムを達成し、従来のO*(4^k)の境界を改善した。
• 有限または余有限なρおよびσをもつ[ρ,σ]-支配問題に対して、sが頂点あたりの状態数であるとき、O*(s^k)時間のアルゴリズムを提示した。
• 完全マッチングの数え上げに対してO*(2^k)時間のアルゴリズムを開発し、既知の最良の指数的時間アルゴリズムと一致した。
• ブランチ分解では、支配集合問題に対してO*(3^(ω/2 k)時間、完全マッチングの数え上げに対してO*(2^(ω/2 k)時間のアルゴリズムを得た。ここでωは行列乗算の指数である。
• クリーク分解では、支配集合問題、独立支配集合問題、全支配集合問題に対してO*(4^k)時間のアルゴリズムを提供した。
• これらの結果は、指数的係数をさらに改善しようとすると強い指数時間仮説に反するため、ほぼ最適であることが示された。