[論文レビュー] Coadjoint structure of Borel subgroups and their nilradicals

Bertram Kostant|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素単純連結な半単純リー群 $G$ のボレル部分群 $B$ の最大共伴軌道が、$\ell - m$ のcodimensionを持つことを確立している。ここで $\ell$ は $G$ のランク、$m$ は強く直交する根の数である。主な結果は、$B$ が空でない開共伴軌道をもつことと、$-1$ が $G$ のウェイル群に属することは同値であり、これは $\ell = m$、すなわち $\ell$ 個の完全な直交根の集合が存在するときに限り成立する。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex simply-connected semisimple Lie group and let $\frak{g}= Lie G$. Let $\frak{g} = \frak{n}_- +\frak{h} + \frak{n}$ be a triangular decomposition of $\frak{g}$. One readily has that $Cent\,U({\frak n})$ is isomorphic to the ring $S({\frak n})^{\frak }$ of symmetric invariants. Using the cascade ${\cal B}$ of strongly orthogonal roots, some time ago we proved that $S({\frak n})^{{\frak n}$ is a polynomial ring $\Bbb C [ξ_1,...,ξ_m]$ where $m$ is the cardinality of ${\cal B}$. Using this result we establish that the maximal coadjoint of $N = exp \frak {n}$ has codimension $m$. Let $\frak {b}= \frak {h} + \frak {n}$ so that the corresponding subgroup $B$ is a Borel subgroup of $G$. Let $\ell = rank \frak{g}$. Then in this paper we prove the theorem that the maximal coadjoint orbit of $B$ has codimension $\ell - m$ so that the following statements (1) and (2) are equivalent: (1) -1 is in the Weyl group of $G$ (i.e., $\ell = m$), and (2), B has a nonempty open coadjoint orbit. We remark that a nilpotent or a semisimple group cannot have a nonempty open coadjoint orbit. Celebrated examples where a solvable Lie group has a nonempty open coadjoint orbit are due to Piatetski--Shapiro in his counterexample construction of a bounded complex homogeneous domain which is not of Cartan type.

研究の動機と目的

• 複素半単純リー群におけるボレル部分群の最大共伴軌道のcodimensionを特定すること。
• ボレル部分群 $B$ が空でない開共伴軌道をもつ条件を特徴づけること。
• このような軌道の存在を、特に $-1$ の存在を含むウェイル群の構造と関連付けること。
• 強く直交する根の段階的構造と、ネイルラディカル $\mathfrak{n}$ の構造を用いて共伴軌道幾何を分析すること。
• 開共伴軌道が存在する場合、それが $\mathfrak{b}_{-}$ の中でZariski開かつ稠密な部分集合 $\mathfrak{b}_{-}' \subset \mathfrak{b}_{-}$ に丁度一致することを確立すること。

提案手法

• リー代数の三角分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{n}_- + \mathfrak{h} + \mathfrak{n}$ を用い、キリング形式により $\mathfrak{b}^* \cong \mathfrak{b}_-$ を特定する。
• コスタントの先行研究における強く直交する根の段階的構造の結果を応用し、$S(\mathfrak{n})^\mathfrak{n} \cong \mathbb{C}[\xi_1, \dots, \xi_m]$ であることを示し、これはランク $m$ の多項式環である。
• $N = \exp(\mathfrak{n})$ による $\mathfrak{n}_-$ 上の共伴作用を分析し、$\mathfrak{r}_-^\times \subset \mathfrak{n}_-$ 上の軌道が $N/R$ に同型であることを示す。ここで $R$ は段階的構造に対応するユニポテンツ部分群である。
• $B = H \ltimes N$ の $\mathfrak{n}_-$-作用と、$H$ が $\mathfrak{r}_-^\times \cong (\mathbb{C}^\times)^m$ 上で推移的に作用することを用いて、軌道構造を分析する。
• 微小共伴作用 $\Phi_\mathfrak{b} = \Phi_\mathfrak{n} + \Phi_\mathfrak{h}$ を適用し、安定化代数を計算し、軌道のcodimensionを導出する。
• $\mathfrak{h}$ による平行移動における $B$-同型不変性と極限の議論を用いて、$\mathfrak{r}_-^\times$ 上の結果を稠密な開部分集合 $\mathfrak{b}_{-}'$ に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素半単純リー群 $G$ のボレル部分群 $B$ が $\mathfrak{b}_{-}$ 内で空でない開共伴軌道をもつのはいつか？
• RQ2 ボレル部分群 $B$ の最大共伴軌道の $\mathfrak{b}_{-}$ におけるcodimensionは何か？ これはルート系の構造にどのように依存するか？
• RQ3 開共伴軌道の存在は、ウェイル群、特に $-1$ の存在とどのように関連しているか？
• RQ4 強く直交する根の段階的構造は、$S(\mathfrak{n})^\mathfrak{n}$ の構造と共伴軌道幾何にどのように寄与するか？
• RQ5 $\mathfrak{b}_{-}$ の共伴ベクトル $w$ の安定化代数 $\mathfrak{b}_w$ は $\mathfrak{h}^o$ とルート系に対してどのように関係するか？

主な発見

• ボレル部分群 $B$ の最大共伴軌道は、$\mathfrak{b}_{-}$ においてcodimension $\ell - m$ をもつ。ここで $\ell = \mathrm{rank}(\mathfrak{g})$ であり、$m = \#\mathcal{B}$ は強く直交する根の数である。
• $B$ が空でない開共伴軌道をもつのは、$-1$ が $G$ のウェイル群に属するときであり、これは $\ell = m$ に同値である。
• $\ell = m$ のとき、開共伴軌道はちょうど $\mathfrak{b}_{-}$ のZariski開かつ稠密な部分集合 $\mathfrak{b}_{-}' \subset \mathfrak{b}_{-}$ に一致し、さらに $\mathfrak{r}_-^\times \subset \mathfrak{b}_{-}'$ である。
• 開軌道内の任意の点 $w$ の安定化代数 $\mathfrak{b}_w$ は $\mathfrak{h}^o$ に一致し、次元は $\ell - m$ である。これはcodimensionを確認する。
• $B$ の共伴作用は軌道構造を保存し、$\mathfrak{h}$ による平行移動は $B$-同型を誘導する。これにより、$\mathfrak{b}_{-}'$ 上でcodimensionが一定であることが保証される。
• 単純リー代数に対しては、開共伴軌道が存在するのは、タイプ $B_\ell$、$C_\ell$、$D_\ell$（$\ell$ が偶数のとき）、$G_2$、$F_4$、$E_7$、$E_8$ の場合に限られ、これは $-1$ がウェイル群に属する場合に一致する。