[論文レビュー] Coarse categories I: foundations

Viêt-Trung Luu|ArXiv.org|Aug 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非単位的粗空間および局所的固有写像を modulo 接続性で含む一般化された粗圏 Crs を導入することにより、粗幾何学の基礎的圏的枠組みを確立する。Crs がすべての非ゼロの極限および余極限を備え、終対象が欠落していることに対応するための終端関手を導入し、特に連続的制御された空間および商構成の文脈において、Roe C*-代数およびその K-理論の圏的基盤を提供する。

ABSTRACT

Following Roe and others (see, e.g., [MR1451755]), we (re)develop coarse geometry from the foundations, taking a categorical point of view. In this paper, we concentrate on the discrete case in which topology plays no role. Our theory is particularly suited to the development of the_Roe (C*-)algebras_ C*(X) and their K-theory on the analytic side; we also hope that it will be of use in the strictly geometric/algebraic setting of controlled topology and algebra. We leave these topics to future papers. Crucial to our approach are nonunital coarse spaces, and what we call _locally proper_ maps (which are actually implicit in [MR1988817]). Our_coarse category_ Crs generalizes the usual one: its objects are nonunital coarse spaces and its morphisms (locally proper) coarse maps modulo_closeness_. Crs is much richer than the usual unital coarse category. As such, it has all nonzero limits and all colimits. We examine various other categorical issues. E.g., Crs does not have a terminal object, so we substitute a_termination functor_ which will be important in the development of exponential objects (i.e., "function spaces") and also leads to a notion of_quotient coarse spaces_. To connect our methods with the standard methods, we also examine the relationship between Crs and the usual coarse category of Roe. Finally we briefly discuss some basic examples and applications. Topics include_metric coarse spaces_,_continuous control_ [MR1277522], metric and continuously controlled_coarse simplices_,_sigma-coarse spaces_ [MR2225040], and the relation between quotient coarse spaces and the K-theory of Roe algebras (of particular interest for continuously controlled coarse spaces).

研究の動機と目的

• 標準的な粗圏を非単位的粗空間および局所的固有写像で一般化することで、粗幾何学の圏的枠組みを構築すること。
• すべての非ゼロの極限および余極限を備えた圏 Crs を確立し、構造的な代数的および位相的構成を可能にすること。
• Crs に存在しない終対象の代わりに機能する終端関手を導入し、関数空間および商粗空間の定義を可能にすること。
• 圏的枠組みと解析的 K-理論の Roe C*-代数との関係を、特に連続的制御された空間および距離的粗空間の文脈で結びつけること。
• 指数的対象、制御付き位相的トポロジー、および Roe 代数の K-理論に関する今後の研究の土台を、圏的道具を用いて築くこと。

提案手法

• 非単位的粗空間および局所的固有写像を定義し、単位的および固有性の要件を緩和することで、標準的な粗写像を一般化する。
• 非単位的粗空間を対象とし、写像を接続性に関して同値類としてとる、粗圏 Crs を構成する。
• Crs がすべての非ゼロの極限および余極限を備え、ファイバー積および商を用いた明示的構成によって証明する。
• 各粗空間に終対象に類似した対象を割り当てる終端関手を導入し、関数空間および商粗空間の定義を可能にする。
• 切除法および標準的な K-理論的道具を用いて、コンパクト空間 M および N の連続的制御された開コーン OM および ON に対して、Roe 代数の K-理論と削減 K-ホモロジーとの間に自然な同型を確立する。
• Eilenberg のスワンドルおよび K-理論における長完全系列を用いて、球面およびコーンの Roe 代数の K-群を計算し、古典的 K-ホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、標準的な粗圏を一般化することで、粗幾何学を体系的に圏的視点から発展させることができるか？
• RQ2 非単位的粗空間の圏がどのような圏的性質（例：極限、余極限、終対象）を備えているか、そして終対象が欠落している場合にどのように修正できるか？
• RQ3 連続的制御された粗空間、例えばコンパクト空間上の開コーンのような場合に、Roe C*-代数の K-理論は古典的 K-ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 Crs の圏的枠組みは、終端関手を用いて関数空間および商粗空間の構成を支援できるか？
• RQ5 商空間の Roe 代数の K-理論と制御付き設定における相対 K-ホモロジーとの正確な関係は何か？

主な発見

• 接続性に関して同値類をとった非単位的粗空間と局所的固有写像の圏 Crs は、すべての非ゼロの極限および余極限を備え、明示的に構成可能である。
• Crs には終対象が存在しないが、終端関手の導入により、指数的対象および商粗空間の定義に不可欠な圏的代替が得られる。
• コンパクトかつ第二可算な空間 M および N の連続的制御された開コーン OM および ON に対して、Roe 代数の K-理論と削減 K-ホモロジーとの間に自然な同型が存在する：K•(C∗(OM)) ≅ ˜K•−1(M)。
• 三重対 (X, Y, X/[Y]) に対する K-理論の長完全系列は、自然に削減 K-ホモロジー系列に対応し、適切な条件下で K•(C∗(X/[Y])) ≅ K•−1(M, N) が成り立つ。
• C∗(OS⁰) の K-理論は、奇数次元では ℤ に同型であり、偶数次元では 0 に同型である。これは Eilenberg のスワンドルおよび C*-代数の短完全系列を用いて計算される。
• 数学的帰納法により、C∗(OSⁿ) の K-理論は、次数が n−1 ≡ 0 mod 2 のとき ℤ に同型であり、それ以外の場合は 0 に同型である。これは球面の K-ホモロジーと関連づけられ、Kasparov の K-ホモロジーの粗幾何的記述を支持する。