[論文レビュー] Coarse decompositions of boundaries for CAT(0) groups

Dan P. Guralnik|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ω次元のキュービング C の半空間上の超フィルターのほぼ等価類からなる新しい組み合わせ的境界 $\Re C$ を定義し、それを用いて CAT(0) 群の境界を粗い分解する。$\Re C$ は、Tychonoff の閉包から導かれる順序構造を備える。群 $G$ が CAT(0) 空間 $X$ に幾何的に作用し、均一なキュービング $\mathcal{H}$ を持つとき、写像 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ の纤维は、$\Re C$ の順序構造に従って視界境界を階層的構造に分割する。この構造はティーツ境界の成分を計算する。主な結果は、$\rho$ を用いた $G$ の $C$ 上の作用の共通コンパクト性の特徴づけであり、コクセター群に対する先行結果を一般化する。

ABSTRACT

In this work we introduce a new combinatorial notion of boundary $\Re C$ of an $ω$-dimensional cubing $C$. $\Re C$ is defined to be the set of almost-equality classes of ultrafilters on the standard system of halfspaces of $C$, endowed with an order relation reflecting the interaction between the Tychonoff closures of the classes. When $C$ arises as the dual of a cubulation -- or discrete system of halfspaces -- $\HH$ of a CAT(0) space $X$ (for example, the Niblo-Reeves cubulation of the Davis-Moussong complex of a finite rank Coxeter group), we show how $\HH$ induces a function $ρ:\bd X o\Re C$. We develop a notion of uniformness for $\HH$, generalizing the parallel walls property enjoyed by Coxeter groups, and show that, if the pair $(X,\HH)$ admits a geometric action by a group $G$, then the fibers of $ρ$ form a stratification of $\bd X$ graded by the order structure of $\Re C$. We also show how this structure computes the components of the Tits boundary of $X$. Finally, using our result from another paper, that the uniformness of a cubulation as above implies the local finiteness of $C$, we give a condition for the co-compactness of the action of $G$ on $C$ in terms of $ρ$, generalizing a result of Williams, previously known only for Coxeter groups.

研究の動機と目的

• ω次元のキュービング $C$ の半空間上の超フィルターを用いて、組み合わせ的境界 $\Re C$ を定義する。
• CAT(0) 空間 $X$ の視界境界 $\partial_\infty X$ からこの新しい境界 $\Re C$ への写像 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ を定義する。
• 均一なキュービング $\mathcal{H}$ の下で、$\rho$ の纤维が $\Re C$ の順序構造に従って $\partial_\infty X$ を階層化することを示す。
• この構造が $X$ のティーツ境界の成分を計算できることを示す。
• コクセター群に対するウィリアムズの結果を一般化し、$G$ のキュービング $C$ 上での共通コンパクト性の条件を $\rho$ を用いて提示する。

提案手法

• $\Re C$ をキュービング $C$ の標準的半空間系上の超フィルターのほぼ等価類の集合として定義し、Tychonoff の閉包から導かれる順序関係を備える。
• $\mathcal{H}$ を CAT(0) 空間 $X$ の離散的半空間系として与えられたキュービングから、視界境界 $\partial_\infty X$ から $\Re C$ への写像 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ を構成する。
• $\mathcal{H}$ の均一性という概念を導入し、コクセター群の平行壁性質を一般化して、構造的制御を確保する。
• ピグーロンの原理とキュービング $C$ の局所的有限性を用いて、基点 $\Pi_0$ からの距離が厳密に増加する $\Pi$（$C$ の1次スケルトン）内の測地線的レイトを構成し、$\rho$ の像に属さない超フィルターの存在を示す。
• 半空間の集合の整合性と影の性質を用いた背理法により、このような逃走レイトが $\rho(\partial_\infty X)$ の外側の超フィルターに対応することを示す。
• 均一なキュービングと $C$ の局所的有限性の関係を示した先行結果を用い、$\rho$ の纤维を用いて $G$ の $C$ 上の作用の共通コンパクト性の基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(0) 空間 $X$ の視界境界 $\partial_\infty X$ は、キュービング $\mathcal{H}$ の組み合わせ的データを用いてどのように階層化できるか？
• RQ2 $\Re C$（キュービング $C$ の境界）の順序構造が、写像 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ の纤维をどのように整理するか？
• RQ3 キュービング $\mathcal{H}$ の均一性は、$\partial_\infty X$ の位相的構造およびティーツ境界とどのように関係するか？
• RQ4 $X$ のティーツ境界の成分は、$\Re C$ の順序構造から計算できるか？
• RQ5 $\rho$ に対してどのような条件下で、$G$ のキュービング $C$ 上での作用が共通コンパクトか？

主な発見

• $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ は、$G$ が $X$ に幾何的に作用するとき、自然にキュービング $\mathcal{H}$ から定義され、well-defined である。
• $\rho$ の纤维は、$\Re C$ の順序構造に従って $\partial_\infty X$ を階層化する。つまり、$\Re C$ の各元の逆像は、境界の階層的分解におけるレベルに対応する。
• $X$ のティーツ境界の成分は、$\Re C$ の順序構造によって計算される。すなわち、ティーツ境界の連結成分は、$\Re C$ の最大元または連結成分に対応する。
• 基点 $\Pi_0$ からの距離が厳密に増加する $C$ の1次スケルトン内の逃走測地線的レイトは、$\rho$ の像に属さない超フィルターに対応し、一般には $\rho$ が全射でないことを示す。
• $G$ のキュービング $C$ 上での作用の共通コンパクト性は、$\rho$ の纤维がコンパクトでかつ像が閉集合であることによって特徴づけられ、コクセター群に対する既知の結果を一般化する。
• このようなレイトの存在は、ピグーロンの原理と $C$ の局所的有限性により保証され、これは $\mathcal{H}$ の均一性から導かれる。したがって、幾何的有限性は $\Re C$ の構造と関連づけられる。