[논문 리뷰] Coarse-Graining Open Markov Processes

John C. Baez, Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 31.

Petri Nets in System Modeling참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 개방 마르코프 과정에 대해 군집화를 확장하기 위해 대칭 모나드 이중 범주를 도입하여 2형식 사상이 개방 마르코프 과정 간의 군집화 맵을 나타내도록 한다. 또한 블랙박싱—입력/출력 유량 간 선형 관계로 매핑하는 함자—가 군집화를 존중함을 증명하여, 간소화되고 추상화된 모델을 통해 복잡한 시스템의 조합적 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Coarse-graining is a standard method of extracting a simple Markov process from a more complicated one by identifying states. Here we extend coarse-graining to open Markov processes. An "open" Markov process is one where probability can flow in or out of certain states called "inputs" and "outputs". One can build up an ordinary Markov process from smaller open pieces in two basic ways: composition, where we identify the outputs of one open Markov process with the inputs of another, and tensoring, where we set two open Markov processes side by side. In previous work, Fong, Pollard and the first author showed that these constructions make open Markov processes into the morphisms of a symmetric monoidal category. Here we go further by constructing a symmetric monoidal double category where the 2-morphisms are ways of coarse-graining open Markov processes. We also extend the already known "black-boxing" functor from the category of open Markov processes to our double category. Black-boxing sends any open Markov process to the linear relation between input and output data that holds in steady states, including nonequilibrium steady states where there is a nonzero flow of probability through the process. To extend black-boxing to a functor between double categories, we need to prove that black-boxing is compatible with coarse-graining.

연구 동기 및 목표

• 폐쇄 마르코프 과정에 주로 적용되는 군집화를 확장하여, 확정된 입력과 출력을 통해 확률이 유입되고 유출될 수 있는 개방 마르코프 과정에 적용하는 것.
• 두 가지 연산인 조합(출력과 입력을 식별함)과 텐서 곱(병렬 조합)을 사용하여 개방 마르코프 과정의 조합을 형식화하고, 이들이 대칭 모나드 범주를 이룬다는 것.
• 2형식 사상이 개방 마르코프 과정 간의 군집화 맵을 나타내는 대칭 모나드 이중 범주를 구성하여, 시스템 역학의 고차원 추상화를 가능하게 하는 것.
• 개방 마르코프 과정을 입력 및 출력 데이터 간 선형 관계로 매핑하는 블랙박싱 함자를 이중 범주 간 함자로 확장하여 군집화와의 호환성을 보장하는 것.
• 복잡한 시스템을 분석하기 위한 조합적 프레임워크를 구축하여, 부분 시스템을 군집화함으로써 간소화하면서도 안정 상태, 특히 비평형 안정 상태에서도 입력-출력 행동을 유지하는 것.

제안 방법

• 개방 마르코프 과정을 연속 시간 마르코프 과정으로 정의하며, 확률이 지정된 입력 및 출력 상태를 통해 유입 및 유출될 수 있도록 하며, 외부 유입 및 유출 항목을 포함한 개방 마스터 방정식에 의해 제어된다.
• 군집화 맵을 상태 공간 간 함수 $ p: X \to X' $ 로 정의하며, 이는 반드시 전사일 필요는 없고, 동역학의 구조를 근사적으로 유지하는 것을 목표로 한다.
• 다음 조건을 만족하는 대칭 모나드 이중 범주 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ 를 구성한다: 객체는 유한 집합(입력/출력), 수직 1형식 사상은 이러한 집합 간의 함수, 수평 1세포는 개방 마르코프 과정이며, 2형식 사상은 군집화 맵이다.
• 블랙박싱을 함자 $ \blacksquare: \mathbb{M}\mathbf{ark} \to \mathbb{L}\mathbf{inRel} $ 로 정의하며, 이는 각 개방 마르코프 과정에 대해 안정 상태에서의 입력 및 출력 유량 간 선형 관계를 부여한다. 이는 개방 마스터 방정식의 핵을 정의함으로써 이루어진다.
• 블랙박싱이 군집화와 호환됨을 증명하기 위해, 군집화 맵의 이미지가 선형 관계의 포함 관계임을 보여주어, 이중 범주 환경에서의 함자성 조건을 확보한다.
• 고차 범주 이론의 결과—특히 이소피브란트 대칭 모나드 이중 범주의 수평 이중 범주 구성—을 활용하여 대칭 모나드 이중 이중 범주 $ \mathbb{Mark} $ 와 $ \mathbb{LinRel} $ 를 유도하고, 이들 사이에 대칭 모나드 함자가 존재할 것임을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률이 지정된 입력과 출력을 통해 들어오고 나가는 개방 마르코프 과정으로 군집화를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 순차적 조합과 병렬 조합을 모두 포함하여 개방 마르코프 과정의 조합과 단순화를 가장 잘 기술하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 개방 마르코프 과정을 입력 및 출력 데이터 간 선형 관계로 매핑하는 블랙박싱 함자를, 군집화를 존중하는 방식으로 범주에서 이중 범주로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건이 개방 마르코프 과정 간 군집화 맵이 블랙박싱 과정과 호환되게 하는가? 즉, 단순화가 입력-출력 행동을 왜곡하지 않도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 프레임워크는 내부 세부 사항을 추상화하면서도 안정 상태 입력-출력 행동을 유지함으로써, 복잡한 시스템에 대한 조합적 추론을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 논문은 2형식 사상이 개방 마르코프 과정 간 군집화 맵을 나타내는 대칭 모나드 이중 범주 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ 를 구성하였으며, 이는 내부 역학의 추상화를 가능하게 한다.
• 블랙박싱 함자가 개방 마르코프 과정에서 입력 및 출력 유량 간 선형 관계로 매핑하는 데 성공했으며, 군집화와 호환됨을 증명하여 군집화와 블랙박싱의 교환 법칙이 성립함을 보였다.
• 블랙박싱 과정은 안정 상태 행동—비평형 안정 상태에서 비제로 확률 흐름이 존재하는 경우 포함—을 포괄하며, 각 개방 마르코프 과정에 대해 방정식 $ H(v) + i_*(I) - o_*(O) = 0 $ 로 정의되는 선형 부분공간을 부여한다.
• 저자들은 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ 가 이소피브란트임을 증명하여, 그 수평 이중 범주인 대칭 모나드 이중 이중 범주 $ \mathbb{Mark} $ 를 구성할 수 있으며, 이는 개방 시스템을 위한 조합적 프레임워크를 제공한다.
• 이중 범주 $ \mathbb{L}\mathbf{inRel} $ 로부터 대칭 모나드 이중 이중 범주 $ \mathbb{LinRel} $ 가 구성되었으며, 블랙박싱 함자는 함자 $ \blacksquare: \mathbb{Mark} \to \mathbb{LinRel} $ 로 확장되어 조합 및 모나드 구조를 유지한다.
• 이 프레임워크는 복잡한 시스템 분석을 위한 조합적 접근을 가능하게 한다: 복잡한 시스템은 조합과 텐서 곱을 통해 더 작은 개방 마르코프 과정으로 구성되며, 그 행동은 손실 없는 입력-출력 충실도를 유지하면서도 간소화된 군집화 모델을 통해 분석될 수 있다.