[論文レビュー] Cobordism invariants of fold maps

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、折りたたみ写像のPontryagin-Thom型構成を確立し、フレームド埋め込みを通じて、折りたたみ写像のコボルディズム類と、分類空間 $BO(k)$ の安定ホモトピー群との関係を示す。局所的モデルとして特定の対称性群を持つ折りたたみの芽の構成を用い、埋め込まれた多様体上にモース関数のファイブレーションを構成することで、$BO(k)$ の安定ホモトピー群が折りたたみ写像のコボルディズム半群に直接和成分として現れることを証明した。これは、球面への写像に関する先行研究を一般化した結果である。

ABSTRACT

This is a survey paper of author's results on cobordism groups and semigroups of fold maps and simple fold maps. The results include: establishing a relation between fold maps and immersions through geometrical invariants of cobordism classes of fold maps and simple fold maps in terms of immersions with prescribed normal bundles, detecting stable homotopy groups of spheres as direct summands of the cobordism semigroups of fold maps, Pontryagin-Thom type construction for -1 codimensional fold maps and estimations about the cobordism classes of manifolds which have fold maps into stably parallelizable manifolds. In the last section some of these results are extended and we show that our invariants also detect stable homotopy groups of the classifying spaces $BO(k)$ as direct summands of the cobordism semigroups of fold maps.

研究の動機と目的

• 折りたたみ写像のコボルディズム不変量に関する先行研究を、分類空間 $BO(k)$ の安定ホモトピー群にまで拡張すること。
• Pontryagin-Thom型構成を通じて、所定の正規束をもつ埋め込みと折りたたみ写像との間に幾何的対応を確立すること。
• 折りたたみ写像のコボルディズム半群に、$BO(k)$ の安定ホモトピー群が直接和成分として含まれることを示すこと。
• 折りたたみ写像が球面に写される場合の不変量を、安定的に平行化可能な多様体への写像に一般化すること。

提案手法

• 特定の対称性群を持つ折りたたみの芽の局所的モデルを用い、埋め込まれた多様体上にモース関数のファイブレーションを構成する。
• 特徴的なフレーム構造を用いて、埋め込みのコボルディズム群から折りたたみコボルディズム半群への準同型 $\alpha_{j,q}^N$ を定義する。
• 写像空間上の誘導写像を介して、合成 $\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$ を用い、その像を安定ホモトピー群と関連付ける。
• 安定ホモトピー群間の自然な準同型 $\beta_{j,*}$ を適用し、単射性および直接和成分の構造を検出する。
• 合成 $\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$ が特定の和成分上で恒等写像として作用することを活用し、コボルディズム半群に直接和成分が存在することを証明する。
• $(q+1)$-次元球面とモース関数 $h_j$ のモデルを用い、ハンドル分解と対称性を分析することで、構成の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 折りたたみ写像のコボルディズム半群は、$BO(k)$ の安定ホモトピー群を直接和成分として検出できるか？
• RQ2 所定の正規束をもつ折りたたみ写像に適応可能なPontryagin-Thom型構成はどのように拡張できるか？
• RQ3 対称性群は、埋め込みから折りたたみ写像を構成する過程で果たす役割は何か？
• RQ4 折りたたみ写像の不変量は、分類空間の安定ホモトピー群とどのように関係するか？
• RQ5 折りたたみ写像が球面に写される場合の結果は、安定的に平行化可能な多様体への写像にどのように一般化できるか？

主な発見

• 2 \leq j < (q+1)/2 のとき、コボルディズム半群 $\mathcal{C}ob_{N,f}(n+q,-q)$ は、安定ホモトピー群 $\pi_1^s(B(O(1,j-1)\times O(q+1-j)))$ を直接和成分として含む。
• n=2 かつ $N^2 = \mathbb{R}^2$ のとき、コボルディズム群 $\mathcal{C}ob_f(2+q,-q)$ は $\mathbb{Z}_2^{3\lfloor q/2\rfloor}$ を直接和成分として含む。
• コボルディズム群 $\mathcal{C}ob_f^O(2+q,-q)$ は $\mathbb{Z}_2^{2\lfloor q/2\rfloor}$ を直接和成分として含む。
• 合成 $\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$ は和成分 $\{\dot{N}, SB(O(1,j-1)\times O(q+1-j))\}$ 上で恒等写像として作用し、直接和成分の存在を証明する。
• $\alpha_{1,q}^N$ は特徴的なフレーム構造とモース関数モデルの対称性のおかげで整合的に定義される。
• 以前の $\pi_n^s$ が折りたたみコボルディズム半群に検出可能であるという結果を、$BO(k)$ の場合にまで一般化し、不変量の適用範囲を拡張した。