[論文レビュー] Codimension one foliations with numerically trivial canonical class on singular spaces

Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、終極的または標準的特異点をもつ正規射影的代数多様体上で、数的に自明な標準類をもつ codimension one の葉付き構造を分類することにより、特異多様体への foliated Beauville-Bogomolov 分解の拡張を達成する。準エタール被覆と弱く正則な葉付き構造の理論を用いて、このような葉付き構造が、アーベル多様体上の線形葉付き構造、平坦接続をもつ $\mathbb{P}^1$-バンドル、あるいは可換代数群の等長的コンactificationからの引き戻しであることを証明する。$K_{\mathcal{F}}$ はやや強い条件下で torsion であることを示す。

ABSTRACT

In this article, we describe the structure of codimension one foliations with canonical singularities and numerically trivial canonical class on varieties with terminal singularities, extending a result of Loray, Pereira and Touzet to this context.

研究の動機と目的

• 数的に自明な標準類をもつ codimension one の葉付き構造を、終極的または標準的特異点をもつ特異多様体へ分類を拡張すること。
• Touzet や Loray-Pereira-Touzet の foliated Beauville-Bogomolov 定理を特異的状況に一般化すること。
• 標準的または終極的特異点の下で、代数的可積分性および標準類 $K_{\mathcal{F}}$ の torsion 性を確立すること。
• 準エタール被覆と等長的コンactificationを用いて、$K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ である弱く正則な葉付き構造のグローバル構造を記述すること。

提案手法

• 準エタール被覆を用いて特異点を解消し、標準類を保存することで、$K_{\mathcal{F}} \sim_{\mathbb{Z}} 0$ の場合に帰着する。
• 葉付き構造の標準的特異点の理論を適用し、このような被覆の下で葉付き構造の標準的リフトの存在を利用する。
• 弱く正則な葉付き構造の概念を用い、その引き戻しや解消における挙動を分析する。
• 2つの主要なケースを分析する：ほとんどすべての素数 $p$ に対して $p$ 乗で閉じている葉付き構造、および平坦なラインバンドル係数を持つ閉じた有理1形式で定義される葉付き構造。
• 数的次元 $\nu(X)$ を用いて構造的ケースを区別する：$\nu(X) = -\infty$、$1$、または $0$ であり、それぞれが異なる幾何的結果をもたらす。
• グローバル Reeb 安定性定理および代数的可積分性定理を適用し、最終的に積構造に類似した分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終極的特異点をもつ多様体上での、数的に自明な標準類をもつ codimension one の葉付き構造の構造は何か？
• RQ2 標準的または終極的特異点をもつ特異空間へ、foliated Beauville-Bogomolov 分解はどのように拡張されるか？
• RQ3 このような葉付き構造に対して、標準類 $K_{\mathcal{F}}$ が torsion となる条件は何か？
• RQ4 弱く正則な葉付き構造 $K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ は、準エタール被覆を用いて標準的幾何的モデルへ分解可能か？
• RQ5 可換代数群の等長的コンactificationは分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 標準的特異点をもつ多様体上で、$K_{\mathcal{F}} \sim_{\mathbb{Q}} 0$ である codimension one の葉付き構造は、アーベル多様体上の線形葉付き構造、または次元が2以上の可換代数群の等長的コンactification上の葉付き構造からの引き戻しである。
• 多様体 $X$ が終極的特異点をもつ、または $K_{\mathcal{F}}$ が Cartier である場合、$K_{\mathcal{F}}$ は torsion である。これはこの葉付き構造的状況への豊富性予想の拡張である。
• 数的次元 $\nu(X) = -\infty$ または $\nu(X) = 1$ のとき、葉付き構造は代数的可積分であり、準エタール被覆を用いて積構造に帰着される。
• 数的次元 $\nu(X) = 0$ の場合、葉付き構造は平坦なラインバンドル係数を持つ閉じた有理1形式から生じ、その構造は形式の零点集合の幾何に支配される。
• 弱く正則な葉付き構造 $K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ に対しては、構造は $\mathbb{P}^1$-バンドル（平坦接続付き）、アーベル多様体からの引き戻し、または曲線への準エタール被覆による引き戻しのいずれかである。
• 証明は、準エタール被覆による特異点の解消と、特に log 構造および例外的 divisor の不変性の文脈での葉付き構造の引き戻しにおける挙動の分析に依拠している。