[論文レビュー] Codimension one foliations with trivial canonical class on singular spaces II

Stéphane Druel, Wenhao Ou|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、klt特異点をもつ複素射影多様体上の余次元1のfoliationを、特異点がcanonicalであり、canonical類が数的自明であるものとして分類し、それが曲線からの引き戻し、あるいは群型のコンパクト化であることを証明する。主な結果として、このようなfoliationが代数的かつ可積分的であり、canonical類が torsion であることを示し、数的次元が0のfoliated 3-foldへのminimal model programの拡張を達成する。

ABSTRACT

In this article, we give the structure of codimension one foliations with canonical singularities and numerically trivial canonical class on varieties with klt singularities. Building on recent works of Spicer, Cascini - Spicer and Spicer - Svaldi, we then describe the birational geometry of rank two foliations with canonical singularities and canonical class of numerical dimension zero on complex projective threefolds.

研究の動機と目的

• klt特異点をもつ複素射影多様体上に、canonical特異点および数的自明なcanonical類をもつ余次元1のfoliationを分類すること。
• 従来のcanonical特異点に関する結果の制限を克服し、klt特異点の設定へfoliationの双有理的分類を拡張すること。
• canonical類が torsion であることを示すことにより、このようなfoliationにおける豊富性予想を確立すること。
• 複素射影3fold上に、canonical特異点および数的次元0をもつランク2のfoliationの双有理的幾何を記述すること。
• quasi-étale被覆およびfoliationの引き戻しを用いて、滑らかおよびcanonical特異点からの結果をkltカテゴリに一般化すること。

提案手法

• quasi-étale被覆を用いて、問題をcanonical特異点をもつ多様体に還元し、foliation構造およびcanonical類の数的自明性を保つ。
• foliated minimal model programを適用して、3fold上のランク2のfoliationの研究を、canonical類が数的自明な最小モデルに還元する。
• klt特異点をもつ曲面上へのBaum-BottおよびCamacho-Sadの公式の拡張を用いて、foliation特異点を分析する。
• 平坦なラインバンドルをもつ閉有理1次形式によって定義されるfoliationの非代数的可積分な場合を分析するため、閉有理1次形式の構造を利用する。
• Ekedahl-Shepherd-Barron-Taylor予想およびlog canonical対を用いて、被覆におけるファイバーの非可約性および分岐を制御する。
• 可換代数的群のequivariant compactificationの理論を用いて、基底上の群型foliationを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt多様体上に、canonical特異点および数的自明なcanonical類をもつ余次元1のfoliationの構造はいかなるものか？
• RQ2 このようなfoliationに対して豊富性予想は成り立つのか、すなわちcanonical類は torsion か？
• RQ3 3fold上に、canonical特異点および数的次元0をもつランク2のfoliationの双有理的幾何は、minimal model programの下でどのように分解されるか？
• RQ4 平坦なラインバンドルをもつ閉有理1次形式によって定義されるfoliationは、klt設定において分類可能か？
• RQ5 quasi-étale被覆は、foliation特異点の解消およびcanonical類の性質の保存にどのように寄与するか？

主な発見

• klt多様体上に、canonical特異点および数的自明なcanonical類をもつ余次元1のfoliationは、いずれかの曲線からの引き戻し、または可換代数的群の群型コンパクト化からの引き戻しである。
• このようなfoliationのcanonical類は torsion であり、この設定における豊富性予想が確認された。
• 複素射影3fold上に、canonical特異点および数的次元0をもつランク2のfoliationに対して、minimal model programを適用すると、canonical類は数的自明になる。
• 分類には2つのケースが含まれる：1つはquasi-étale被覆を介して曲線からの引き戻しとして得られるfoliationであり、もう1つは可換代数的群のequivariant compactification上の一様なLie部分群から生じるfoliationである。
• klt曲面へのBaum-BottおよびCamacho-Sadの公式の拡張により、特異点をもつ設定におけるfoliation特異点の分析が可能になった。
• quasi-étale被覆およびlog canonical対の使用により、双有理変換の下でもfoliationの引き戻しが良好に保たれることが保証された。