[論文レビュー] Coding Methods in Computability Theory and Complexity Theory

André Nies|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、計算可能性理論および計算複雑性理論における符号化手法を発展・応用し、c.e. チャーチ、多対一、弱真理表記度、および包含関係におけるc.e. 集合の格子といった主要構造の理論における決定不能性および解釈可能性結果を確立する。本稿は、真の算術のパrameter化された解釈を可能にする定義可能性補題を導入し、これらの構造が完全な算術理論を一様に符号化できることを証明するとともに、ジャンプ類における自己同型の作用が制限されることを示す。

ABSTRACT

A major part of computability theory focuses on the analysis of a few structures of central importance. As a tool, the method of coding with first-order formulas has been applied with great success. For instance, in the c.e. Turing degrees, it has been used to determine the complexity of the elementary theory, to provide restrictions on automorphisms, and even to obtain definability results (work of Harrington, Nies, Shore, Slaman, and others). We describe how a similar program can be carried out for several other structures, including the structure of c.e. many one degrees, the structure of c.e. weak truth table degrees and the lattice of c.e. sets under inclusion. In all cases we will obtain undecidability of, or even an interpretation of true arithmetic in the theory of the structure. For the c.e. many one-degrees, we also obtain definability results and restrictions on automorphisms. This work appeared first as the author's habilitation thesis at the Universitaet Heidelberg, 1998.

研究の動機と目的

• モデル理論的道具を用いて、計算可能性および計算複雑性構造の間で符号化技法を統一的かつ一般化すること。
• c.e. 度構造 $ρ_T$, $ρ_m$, $ρ_{wtt}$ および c.e. 集合の格子 $Ω$ の理論の論理的複雑性を調査すること。
• 算術的定義可能性をこれらの構造内でのパrameter付き定義可能性に移す定義可能性補題を確立すること。
• 完全な真の算術の理論が、いくつかの度構造の理論に解釈可能であることを証明し、決定不能性を示すこと。
• 特に、c.e. 集合の格子において、パrameterなしでの符号化の制限を分析すること。

提案手法

• 計算可能写像による一階符号化を用いて、度構造の理論に完全な算術理論 ($\mathrm{Th}(\mathbb{N},+,×)$) を解釈すること。
• 構造 $\mathcal{R}_m$ や $\mathcal{E}$ における算術的定義可能性をパrameter付き定義可能性へと引き上げるためのコアツールとして「定義可能性補題」を導入すること。
• オракル計算と使用量の有界性を用いた再帰的構成により、再帰的グラフおよび数論的関係を度構造に符号化すること。
• 再帰定理を用いて、符号化の正しさを保証する自己言及的集合を構成し、オラクルクエリに対して安定であることを保証すること。
• ハリントン＝シャラの符号化と代数的技法を組み合わせ、特に $\forall\exists\forall$-文の断片を分析すること。
• c.e. ブール代数 $\mathcal{B}$ の理想格子 $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ を中間的手段として用い、決定不能性を他の構造、特に計算複雑性論的度構造へと転送すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な真の算術の理論は、c.e. チャーチ度 $\mathcal{R}_T$ の理論に解釈可能か？
• RQ2 $\mathcal{R}_m$, $\mathcal{R}_{wtt}$, $\mathcal{E}$ において、パrameterなしで自然数構造 $\mathbb{N}$ をどの程度符号化できるか？
• RQ3 包含関係における c.e. 集合の格子 $\mathcal{E}$ における符号化および定義可能性の制限は何か？
• RQ4 定義可能性補題は、度構造内での算術的性質を定義可能なクラスへとどのように移すか？
• RQ5 符号化手法は、$\mathcal{R}_T$, $\mathcal{R}_m$, $\mathcal{R}_{wtt}$ の自己同型にどのような制限を課えるか？

主な発見

• 理論 $\mathrm{Th}(\mathcal{R}_T)$ は決定不能であり、計算可能写像を用いた多対一還元により、完全な真の算術の理論 $\mathrm{Th}(\mathbb{N},+,×)$ を解釈する。
• $\mathcal{R}_T$ において、パrameterなしの $\mathbb{N}$ の符号化が存在し、構造が外部パrameterなしで算術を定義可能であることを示す。
• $\mathcal{R}_m$ および $\mathcal{R}_{wtt}$ において、$\mathbb{N}$ のパrameterなし符号化を構成し、それらの理論の $\forall\exists\forall$-断片が決定不能であることを証明する。
• $\mathcal{E}$ においては、パrameterなしで無限線形順序を符号化できないが、理論 $\mathrm{Th}(\mathcal{E})$ は決定不能であり、$\mathrm{Th}(\mathbb{N})$ の完全な解釈が確立されている。
• c.e. ブール代数 $\mathcal{B}$ の理想格子 $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ の理論は決定不能であることが示され、これらは他の構造へと符号化に利用可能である。
• $\mathcal{R}_T$ の自己同型は、いかなる度の2回目のジャンプをも変更できない。また、$\mathrm{Low}_2$ および $\mathrm{High}_1$ のクラスは、符号化フレームワークを用いて $\mathcal{R}_T$ 内で定義可能である。