[論文レビュー] Coding Theory and Projective Spaces

Natalia Silberstein|arXiv (Cornell University)|May 22, 2008

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、フェルファーズ図式ランクメトリック符号を用いた、射影空間内の定数次元符号のマルチレベル構成を提案し、大多数のパラメータにおいて最大の既知の符号を達成する。本稿は、リフトドMRD符号と横断的デザインの間の関係を確立し、新たな上界を導出し、グレアマニアン部分空間上の辞書式順序に基づく効率的な列挙符号化/復号化を提示する。

ABSTRACT

The projective space of order $n$ over a finite field $\F_q$ is a set of all subspaces of the vector space $\F_q^{n}$. In this work, we consider error-correcting codes in the projective space, focusing mainly on constant dimension codes. We start with the different representations of subspaces in the projective space. These representations involve matrices in reduced row echelon form, associated binary vectors, and Ferrers diagrams. Based on these representations, we provide a new formula for the computation of the distance between any two subspaces in the projective space. We examine lifted maximum rank distance (MRD) codes, which are nearly optimal constant dimension codes. We prove that a lifted MRD code can be represented in such a way that it forms a block design known as a transversal design. The incidence matrix of the transversal design derived from a lifted MRD code can be viewed as a parity-check matrix of a linear code in the Hamming space. We find the properties of these codes which can be viewed also as LDPC codes. We present new bounds and constructions for constant dimension codes. First, we present a multilevel construction for constant dimension codes, which can be viewed as a generalization of a lifted MRD codes construction. This construction is based on a new type of rank-metric codes, called Ferrers diagram rank-metric codes. Then we derive upper bounds on the size of constant dimension codes which contain the lifted MRD code, and provide a construction for two families of codes, that attain these upper bounds. We generalize the well-known concept of a punctured code for a code in the projective space to obtain large codes which are not constant dimension. We present efficient enumerative encoding and decoding techniques for the Grassmannian. Finally we describe a search method for constant dimension lexicodes.

研究の動機と目的

• ランダムネットワーク符号化に不可欠な、射影空間内の定数次元符号のための新たな構成法と上界の開発。
• リフトドMRD符号と組合せデザイン、特に横断的デザインおよびそのqアナログとの間の関係の確立。
• 部分空間表現に基づく辞書式順序を用いたグレアマニアン空間における効率的な列挙符号化および復号化の実現。
• 特にqが小さく、最小距離が小さい場合の、定数次元符号のサイズに関する下界の向上。
• リフトドMRD符号から導かれる符号の構造的および代数的性質の調査、特にLDPC符号としての表現。

提案手法

• 定数重量符号、簡約行階段形（RREF）、フェルファーズ図、およびフェルファーズ図に適合したランクメトリック符号の4つの要素を用いた、定数次元符号のマルチレベル構成を提案。
• フェルファーズ図式ランクメトリック符号を導入し、そのサイズに関する上界を導出し、その上界に達する構成を提示。
• リフトドMRD符号から導かれる横断的デザインのインシデント行列を、ハミング空間における線形符号のパリティーチェック行列として用い、射影空間符号と古典的符号理論を結びつける。
• 射影空間符号に対する一般化されたパuncturing操作を適用し、マルチレベル構成によるものより著しく大きな非定数次元符号を生成。
• グレアマニアン空間における3種類の列挙符号化技術を開発：1つは識別ベクトルとRREFに基づくもの、1つはフェルファーズテーブルックスに基づくもの、および複雑性を低減するためのハイブリッド手法。
• 部分空間表現に基づく辞書式順序をグレアマニアンに導入し、探索を用いた定数次元辞書式符号の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リフトドMRD符号は横断的デザインとして表現可能であり、その構造は符号の構築および解析においてどのような意味を持つのか？
• RQ2 リフトドMRD符号を含む定数次元符号のサイズに関する最もタイトな上界は何か？ また、これらの上界は達成可能か？
• RQ3 異なる部分空間表現に基づく辞書式順序を用いた、グレアマニアンにおける列挙符号化をどのように効率的に実装できるか？
• RQ4 特定の定数重量符号を選択することで、マルチレベル構成のコードサイズを最適化できるか？
• RQ5 フェルファーズ図式ランクメトリック符号および定数次元符号のサイズに関する上界は、すべてのパラメータに対してタイトか？

主な発見

• フェルファーズ図式ランクメトリック符号を用いたマルチレベル構成は、$k=3$, $k=4$ で $n=8$ の場合および特定の辞書式符号を除き、ほとんどのパラメータにおいて最大の既知の定数次元符号を生成する。
• リフトドMRD符号は横断的デザインとして表現可能であり、そのインシデント行列はハミング空間における線形符号としても得られ、かつLDPC符号としても成立する。
• 本稿は、リフトドMRD符号を含む定数次元符号のサイズに関する新たな上界を導出し、$k=3$ および $k=4$ で $n=8$ の場合にその上界に達する符号を構成した。
• 射影空間符号に対するパuncturing操作により、マルチレベル構成によるものより著しく大きな非定数次元符号が生成される。
• グレアマニアンにおける辞書式順序に基づく列挙符号化技術は、従来の手法よりも低い複雑性を達成し、ハイブリッド手法により複雑性式の定数係数を低減した。
• 探索を用いた定数次元辞書式符号の構成により、特に$q=2$ および小さな$n$ に対して、最も大きな既知の符号が得られた。