[論文レビュー] Coefficient Estimates for Certain Subclass of Bi Functions Associated the Horadam Polynomials

Adnan Ghazy AlAmoush|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、Horadam多項式を用いて新しい双有界関数の部分クラスを導入し、初期係数 |a₂| および |a₃| の鋭い推定値と Fekete-Szegő 不等式を導出する。結果は、既知の双有界関数の係数境界を一般化し、チェビシェフ多項式やフィボナッチ多項式といった特別な場合に拡張され、多項式のパラメータと実数パラメータ η に依存する明示的な境界を提供する。

ABSTRACT

In the present article, our goal is finding estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients |a2| and |a3| for a new class of bi-univalent functions defined by means of the Horadam polynomials. Fekete-Szego inequalities of functions belonging to this subclass are also founded.

研究の動機と目的

• Horadam多項式を用いて、双有界関数の新しい部分クラスを定義すること。
• この新しいクラスにおけるテイラー＝マクローリン係数 |a₂| および |a₃| の鋭い上界を導出すること。
• 実数 η によってパrameter化された部分クラスに属する関数の Fekete-Szegő 不等式を確立すること。
• 多項式の再帰的構造と母関数を組み込むことで、既知の係数推定値を一般化すること。
• チェビシェフ多項式やフィボナッチ多項式の既知の結果が、特別な場合としてこの一般化枠組みから回復できることを示すこと。

提案手法

• Horadam多項式の母関数 Ω(x,z) を含む劣化条件を用いて関数クラス Σ′(x) を定義する。
• 初期値 h₁ = a, h₂ = b x を持つ再帰関係 hₙ(x) = p x hₙ₋₁(x) + q hₙ₋₂(x) を用いて多項式構造をモデル化する。
• f′(z) ≺ Ω(x,z) + 1 − α および g′(w) ≺ Ω(x,w) + 1 − α と表す劣化理論を適用する。ここで g は f の逆関数である。
• f′(z) および g′(w) のテイラー展開における係数を一致させ、a₂, a₃ を多項式係数 h₂(x), h₃(x) およびシュワーツ関数の係数に関連付ける。
• シュワーツ関数係数の有界性（|pᵢ| ≤ 1, |qᵢ| ≤ 1）を用いて係数不等式を導出する。
• Fekete-Szegő汎関数 |a₃ − η a₂²| を適用し、導出されたパラメータ Θ(η,x) の大きさに基づく場合分けを用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Horadam多項式を用いて定義された双有界関数の新しい部分クラスにおいて、|a₂| および |a₃| の鋭い上界は何か？
• RQ2 この部分クラスにおける Fekete-Szegő 不等式はどのように振る舞い、パrameter η に依存するか？
• RQ3 既知の双有界関数の係数推定値が、この一般化フレームワークの特別な場合として回復可能か？
• RQ4 Horadam多項式の母関数 Ω(x,z) は、係数境界の定義および分析において果たす役割は何か？
• RQ5 チェビシェフ、フィボナッチ、ペル多項式などの特別な場合において、境界はどのように変化するか？

主な発見

• |a₂| の鋭い上界は、係数一致とシュワーツ補題の制約から得られ、|a₂| ≤ |b x| √|b x| / √|b x² (3b − 4p) − 4a q| である。
• |a₃| の境界は、係数比較とシュワーツ関数係数の有界性から得られ、|a₃| ≤ |b x| / 3 + (b x)² / 4 である。
• Fekete-Szegő汎関数 |a₃ − η a₂²| に対しては、|η − 1| が 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) の閾値の大小に依存する2通りのケースに分けられる。
• |η − 1| ≤ 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) の場合、境界は |2 b x| / 3 である。それ以外の場合は、|b x|³ |1 − η| / |3 b² x² − 4(p b x² + q a)| である。
• a = 1, b = p = 2, q = −1, x → t ∈ (1/2, 1) とすると、チェビシェフ多項式の既知の推定値が回復され、η = 1 のとき |a₃ − a₂²| ≤ 4t/3 が得られる。
• このフレームワークは、単一のパrametric多項式モデルを用いて、フィボナッチ、ラウス、ペル、ペル＝ラウス多項式を含む複数の古典的直交多項式の係数推定値を統一的に扱う。