[論文レビュー] Cofree coalgebras over operads and representative functions

Matthieu Anel|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、集合、位相空間、あるいはdgベクトル空間などの圏における彩色付きオペラッド $P$ に対して、余自由コールゲブラ $P^\vee(C)$ の再帰的構成を提供し、それがラックス余モノイド $P^\wedge$ のコリフレクションであることを証明する。主な結果は、$\mathcal{V} = \mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ の場合、再帰が最初の段階で停止し、$P^\vee(C)$ が完成化された $P$-代数 $P^\wedge(C)$ 内の代表的関数の部分対象として特定されることである。これにより、以前の構成が簡略化される。

ABSTRACT

We give a recursive formula to compute the cofree coalgebra P^\vee(C) over any colored operad P in Set, CGHaus or (dg)Vect. The construction is closed to that of Smith but different. We use a more conceptual approach to simplify the proofs that P^\vee is the cofree P-coalgebra functor and also the comonad generating P-coalgebras. In a second part, when P is a linear or dg-operad over a field, we generalize the notion of representative functions of Block & Leroux and prove that P^\vee(C) is simply the subobject of representative elements in the "completed P-algebra" P^\wedge(C). This says that our recursion (as well as that of Smith) stops at the first step.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル圏 $\mathcal{V}$（例えば $\mathsf{Set}$, $\mathsf{CGHaus}$, $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ を含む）における任意の彩色付きオペラッド $P$ に対して、余自由 $P$-コールゲブラ関手 $P^\vee$ の概念的で再帰的な構成を提供すること。
• $P^\vee$ が余モノイドであることを証明し、そのコールゲブラがコモナド的定理に依存せずに正確に $P$-コールゲブラと一致することを示すこと。
• $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ におけるブロック＝レラウの代表的関数の概念をオペラッドへ一般化し、$P^\vee(C)$ を完成化された $P$-代数 $P^\wedge(C)$ 内の代表的要素の部分対象として特定すること。
• $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ において、$P^\vee$ の再帰的構成が最初の段階で停止することを示し、スミスのアプローチなど既存の手法を簡略化すること。

提案手法

• $P^\vee$ の構成は再帰的タワー $Q_n(C)$ を通して行われ、$Q_1(C)$ はファイバー積 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$ として定義され、単体的図式の極限を形成する。
• ラックス余モノイド構造 $P^\wedge$ を用い、自然な写像 $\alpha: P^\wedge_n P^\wedge_m \to P^\wedge_{n+m}$ を導入し、$P^\vee$ が余モノイドの圏への $P^\wedge$ のコリフレクションであることを示す。
• $Q_1(C)$ 上のコールゲブラ構造は自然変換と単射を用いて定義され、単体的構造 $P^\wedge_n$ を含む可換図式により、コアソシエーションおよび余単位の性質が検証される。
• $\mathcal{V} = \mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ の場合、代表的関数の概念を一般化する：$P^\vee(C)$ の要素は、$P^\wedge(C)$ 内にあり、その対角写像 $\delta: x \mapsto \sum x_i' \otimes x_i''$ が有限個のテンソル積の和を通るよう因数分解できるものである。
• 再帰の最初の段階で停止することの証明は、$Q_1(C)$ が既に $P$-コールゲブラであることを利用し、写像 $Q_1(C) \to P^\wedge Q_1(C)$ が $Q_\infty Q_1(C)$ に引き上げられること、および $Q_2(C) \to Q_1(C)$ が単射であることから、$Q_1 = Q_2$ が導かれる。
• この構成は、$\mathcal{V}$ にやや弱い仮定を満たす場合に、ラックス余モノイド $P^\wedge$ が余モノイドの圏へのコリフレクションとして存在することに依存しており、$\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ ではその仮定が満たされている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コモナド的定理に依存せずに、余自由 $P$-コールゲブラ関手 $P^\vee$ の再帰的で概念的な構成が可能か？
• RQ2 ラックス余モノイド $P^\wedge$（$P^\wedge(C) = \prod_n [P(n), C^{\otimes n}]$ として定義）は、余モノイドの圏へのコリフレクションか？ もしそうなら、その結果得られる余モノイドは何か？
• RQ3 dgベクトル空間上のオペラッドの場合、$P^\vee$ の再帰的構成は最初の段階で停止するか？ その場合、$P^\vee(C)$ は単にファイバー積 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$ に一致するか？
• RQ4 アソシエイティブ代数における代表的関数の概念をオペラッドへ一般化できるか？ その場合、$P^\vee(C)$ は、その対角分解が有限である要素からなる $P^\wedge(C)$ の部分対象となるか？
• RQ5 このファイバー積による $P^\vee$ の構成は、余自由 $P$-コールゲブラと一致するか？ また、dgベクトル空間の場合にスミスの構成と同値であるか？

主な発見

• 余自由 $P$-コールゲブラ関手 $P^\vee$ は、ラックス余モノイド $P^\wedge$ のコリフレクションとして構成され、コモナド的定理を用いずに $P^\vee$-コールゲブラが正確に $P$-コールゲブラと一致することを証明した。
• $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ において、$P^\vee$ の再帰的構成は $n=1$ で安定化し、$Q_1(C) = Q_\infty(C)$ となる。つまり、余自由コールゲブラは1ステップで得られる。
• $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ において、$P^\vee(C)$ は $P^\wedge(C)$ の部分対象として、対角写像 $\delta: x \mapsto \sum x_i' \otimes x_i''$ が有限個のテンソル積の和を通るよう因数分解できる代表的要素からなると特定された。
• ファイバー積 $P^\wedge(C) \times_{P^\wedge_2(C)} (P^\wedge)^2(C)$ を通じた $P^\vee$ の構成は、スミスの構成と同値であるが、本稿では $\mathsf{dg}\mathsf{Vect}$ ではこの再帰が不要であることを示した。
• $Q_1(C)$ 上のコールゲブラ構造は自然であり、コアソシエーション性は単体的構造 $P^\wedge_n$ を含む可換図式により検証され、コアソシエーション性は単体的恒等式に還元される。
• 証明は、$Q_1(C)$ が既に $P$-コールゲブラであることを利用しており、写像 $Q_1(C) \to Q_\infty Q_1(C)$ が $Q_2(C)$ を通じて因数分解され、$Q_2(C) \to Q_1(C)$ が単射であることから、$Q_1 = Q_2$ が導かれ、停止性が示された。