[論文レビュー] COGARCH: Symbol, Generator and Characteristics

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的公式を用いて、COGARCH過程の記号、生成子、および半マルティンゲール特性を体系的に計算する手法を開発する。Lévy三つ組とパラメータを用いて、COGARCH過程の記号および生成子の明示的表現を導出し、その無限小的挙動と確率的ダイナミクスを直接特徴付けることを可能にする。

ABSTRACT

We describe the technique how to use the symbol in order to calculate the generator and the characteristics of an Itô process. As an example we analyze the COGARCH process which is used to model financial data.

研究の動機と目的

• 一般のイト過程の記号を確率的極限公式を用いて計算するための一般的な枠組みを確立すること。
• この枠組みを、Lévy過程によって駆動される連続時間GARCHモデル、すなわちCOGARCH過程に特に適用すること。
• COGARCH過程の拡張生成子および半マルティンゲール特性を、その記号から導出すること。
• 基礎となるLévy三つ組とモデルパラメータを用いて、記号および生成子の明示的で解析的に取り扱いやすい表現を提供すること。
• 記号を用いてCOGARCH過程の無限小的挙動およびパスの性質を特徴付ける有効性を示すこと。

提案手法

• 停止過程の特性関数を含む極限を用いた記号の確率的定義を用いる。
• 微分特性が滑らかで局所的に有界であるイト過程に対して、記号から生成子および記号から特性への対応関係を適用する。
• 記号フレームワークの正則性と適用可能性を保証するために、COGARCH過程を $(G_t, V_t) = (G_t, -\log(\sigma_t^2))$ の対数的ボラティリティ形に変換する。
• Lévy過程の特性指数とボラティリティ過程のダイナミクスを用いて、極限表現を計算することで記号を導出する。
• 既知の半マルティンゲール理論からの公式を用いて、記号から直接拡張生成子および半マルティンゲール特性を記述する。
• 画像測度技法を用いて、駆動過程のLévy測度を変換された状態空間におけるCOGARCH過程のジャンプを支配する測度に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のイト過程の記号は、そのストラスティック微分方程式と特性からどのように計算できるか？
• RQ2 COGARCH過程の明示的記号は、そのパラメータとLévy三つ組を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 記号は、COGARCH過程の拡張生成子および半マルティンゲール特性を導出するためにどのように利用できるか？
• RQ4 記号とCOGARCH過程の無限小的挙動との関係は何か？
• RQ5 記号に基づくアプローチは、COGARCHのような複雑な確率過程の解析をどのように簡素化するか？

主な発見

• COGARCH過程の記号は、状態 $(g, v)$ と周波数ベクトル $(\xi_1, \xi_2)$ の関数として明示的に計算され、ドリフト、拡散、ジャンプ成分を含む。
• 過程 $(G_t, \log(\sigma_t^2))$ の拡張生成子 $G$ は記号から導出され、偏微分とLévy三つ組を用いて表現される。
• 半マルティンゲール特性 $B$、$C$、および $\nu$ は、状態に依存するドリフト、拡散、ジャンプ強度を用いて明示的に与えられ、ジャンプ測度 $\tilde{N}$ は画像測度変換によって定義される。
• 記号は出口時刻半径 $R$ の選択に依存しないことが確認され、COGARCH過程に対して適切に定義された性質を示している。
• SDEの解法や特性関数の計算に依存せずに、記号から直接生成子および特性を導出できる。
• 結果は文献に知られている結果と整合しており、RajputとRosinskiらの先行研究をCOGARCH設定に一般化している。