[論文レビュー] Cohen-Macaulay injective, projective, and flat dimension

Henrik Holm, Peter Jørgensen|ArXiv.org|May 27, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$A\ltimes C$ という自明拡大環におけるゴレンシュタインホモロジー次元を用いて、可換ノエザー環に対するコhen＝マカウレイの単射的、射影的、平坦的次元をホモロジー的不変量として導入する。主な結果は、これらの次元の有限性が、双対化モジュールをもつコhen＝マカウレイ環を特徴づけることであり、ゴレンシュタインホモロジー代数に類似した形で、古典的なホモロジー理論を統一的かつ拡張的に展開するものである。

ABSTRACT

We define three new homological dimensions - Cohen-Macaulay injective, projective, and flat dimension - which inhabit a theory similar to that of classical injective, projective, and flat dimension. Finiteness of the new dimensions characterizes Cohen-Macaulay rings with dualizing modules.

研究の動機と目的

• 古典的なホモロジー次元（単射的、射影的、平坦的）を、ゴレンシュタインホモロジー次元の成功に倣ってコhen＝マカウレイの設定に拡張すること。
• コhen＝マカウレイ環上のモジュールのホモロジー的性質を捉える新しい不変量、すなわちコhen＝マカウレイ単射的・射影的・平坦的次元を定義すること。
• 環 $A$ 上でのこれらの次元の有限性が、$A$ が双対化モジュールをもつコhen＝マカウレイ環であることと同値であることを確立すること。
• 半双対化モジュールと自明拡大環を用いて、ゴレンシュタインホモロジー代数に類似した枠組みをコhen＝マカウレイの場合に適応する、新たな枠組みを提供すること。

提案手法

• 環 $A$ のすべての半双対化モジュール $C$ に対して、自明拡大環 $A\ltimes C$ 上でのゴレンシュタイン次元の下限として、コhen＝マカウレイ次元を定義する。
• 自明拡大環 $A\ltimes C$ を用いて「環を変える」ことで、$A\ltimes C$ 上の複体のゴレンシュタイン単射的・射影的・平坦的次元を計算する。
• 半双対化モジュール $C$ の性質（$\operatorname{Hom}_A(C,C) \cong A$ かつ $\operatorname{Ext}^i_A(C,C) = 0$ for $i \geq 1$）を活用して、新しい次元の振る舞いを制御する。
• 既知のゴレンシュタインホモロジー代数およびコhen＝マカウレイ次元理論の結果（例：[6] や [3]）を応用し、新しい次元と古典的不変量との関係を確立する。
• ゴレンシュタイン次元のアウスランダー＝ブッシャルトの公式を用いて、コhen＝マカウレイ射影的次元に対しても類似の公式を導出する。
• 新しい次元に関する複数の有限性条件が同値であることを示し、それらがすべて双対化モジュールの存在を特徴づけることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成モジュールのコhen＝マカウレイ射影的次元が有限であるのはいつか？ そしてそれは何を測るのか？
• RQ2 新しいコhen＝マカウレイ次元は、古典的なゴレンシュタイン次元およびコhen＝マカウレイ次元とどのように関係するか？
• RQ3 環 $A$ にどのような条件を課すと、（例：コーゾル複体、双対化複体など）標準的複体のコhen＝マカウレイ単射的・射影的・平坦的次元が有限になるか？
• RQ4 新しい次元を用いて、双対化モジュールをもつコhen＝マカウレイ環を特徴づけることができるか？
• RQ5 古典的なアウスランダー＝ブッシャルトの公式に類似した、コhen＝マカウレイ射影的次元に関する公式は存在するか？

主な発見

• 最大イデアルの生成列に関するコーゾル複体 $K(x_1,\ldots,x_r)$ に対して、$\operatorname{CMid}_A M$ および $\operatorname{CMid}_A K(x_1,\ldots,x_r)$ の有限性は、$A$ が双対化モジュールをもつコhen＝マカウレイ環であることを特徴づける。
• 被覆モジュール $E_A(k)$ や双対化複体 $D$ に対して、$\operatorname{CMpd}_A E_A(k)$ および $\operatorname{CMpd}_A D$ の有限性は、$A$ が双対化モジュールをもつコhen＝マカウレイ環であることを特徴づける。
• コhen＝マカウレイ射影的次元はアウスランダー＝ブッシャルトの公式を満たす：$\operatorname{CMpd}_A M = \operatorname{depth}_A A - \operatorname{depth}_A M$（有限のとき）。
• 局所環 $A$ に対して、$\operatorname{CMdim}_A M \leq \operatorname{CMpd}_A M \leq \operatorname{Gdim}_A M$ が成り立ち、もしあらゆる一つが有限であれば、三つはすべて等しい。
• ある半双対化モジュール $C$ に対して $\operatorname{Gpd}_{A\ltimes C} M < \infty$ ならば、$\operatorname{CMdim}_A M = \operatorname{Gpd}_{A\ltimes C} M$ が成り立ち、新しい次元が古典的ゴレンシュタイン理論と結びつく。
• コhen＝マカウレイ次元に関するすべての有限性条件は同値であり、それらはすべて $A$ 上に双対化モジュールが存在することを特徴づける。