[論文レビュー] Coherence measures and optimal conversion for coherent states

Shuanping Du, Zhaofang Bai+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、純粋な量子状態における相関測度の一般枠組みを導入し、相対エントロピー、$l_1$-ノルム、$α$-エントロピーといった主要な測度を統合する無限クラスの整合性測度を構築する。純粋な非局所的状態から別の純粋な非局所的状態への非局所的操作による変換の最適成功確率を導出し、閉形式の式と、この最大確率に達する明示的なプロトコルを提供する。

ABSTRACT

We discuss a general strategy to construct coherence measures. One can build an important class of coherence measures which cover the relative entropy measure for pure states, the $l_1$-norm measure for pure states and the $α$-entropy measure. The optimal conversion of coherent states under incoherent operations is presented which sheds some light on the coherence of a single copy of a pure state.

研究の動機と目的

• 相対エントロピーと $l_1$-ノルムといった既存の測度を一般化する、純粋状態における広範な整合性測度の生成の体系的メソッドを開発すること。
• 非局所的操作を用いた、ある純粋な非局所的状態から別の純粋な非局所的状態への変換で達成可能な最大確率という根本的問題に取り組むこと。
• この最適変換確率を達成する構成的プロトコルを提供し、先行研究における最適性に関する未解決問題を解決すること。
• 凸包拡張を用いて純粋状態から混合状態への整合性評価の拡張を図り、公理的要件を満たす一貫性を保証すること。
• 複数の状態コピーが単一コピーよりも高い整合性抽出を可能にする条件を特定し、非加法的挙動を明らかにすること。

提案手法

• 純粋状態の確率ベクトルに関数 $f$ を適用する一般的手法により、非局所的操作下での単調性と凸性を満たす整合性測度の構築を提案する。
• 関数 $f$ を順序付き確率振幅に適用して整合性モノトーンを定義し、$f$ が $[0,1]$ 上で凹かつ増加関数であることを要件とする。
• ターゲット状態とソース状態の累積確率分布を比較する再帰的手順により、最適変換確率 $P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$ を導出する。
• 主要化を保証する累積確率比に基づいて構築された正規化状態 $|γ\rangle$ を導入し、非局所的操作による決定的変換を可能にする。
• 部分空間内で恒等演算子に比例するブロック対角作用素 $M_j$ を用いた明示的な非局所的操作を構築し、$M|γ\rangle = \sqrt{r_1}|φ\rangle$ を達成する。
• [BDG] の主要化基準を適用して、$|ψ\rangle$ から $|γ\rangle$ への非局所的操作の存在を保証し、Fidelityに基づく確率式を用いて最大成功確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的操作を用いて、純粋な非局所的状態 $|ψ\rangle$ を別の純粋な非局所的状態 $|φ\rangle$ に変換する際の最大成功確率は何か？
• RQ2 非局所的状態でゼロとなること、単調性、凸性を満たすすべての可能な整合性測度を生成する一般枠組みを構築できるか？
• RQ3 単一コピーの変換確率が複数コピーの最大値に等しくなる条件は何か？また、複数コピーが単一コピーよりも高い整合性抽出を可能にする条件は何か？
• RQ4 最大変換確率に達する最適な非局所的操作を明示的に構築できるか？
• RQ5 提案された整合性測度フレームワークは、相対エントロピー、$l_1$-ノルム、$α$-エントロピーといった既知の測度を含むか？

主な発見

• 凹かつ増加関数 $f$ を純粋状態の順序付き確率ベクトルに適用することにより、相対エントロピー、$l_1$-ノルム、$α$-エントロピーを特別な場合として含む無限族の整合性測度を構築した。
• 最適変換確率 $P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$ は、関連するすべての区間における累積確率比の最小値として与えられ、具体的には $r_1 = \min_{l \in [1,l_1-1]} \frac{\sum_{i=l}^{l_1-1} |\psi_i|^2}{\sum_{i=l}^{l_1-1} |\phi_i|^2}$ である。このプロセスは、状態全体がカバーされるまで再帰的に繰り返される。
• ブロック対角作用素 $M_j$ を用いた明示的な非局所的操作を構築し、導出された状態 $|γ\rangle$ の成分をスケーリングして $M|γ\rangle = \sqrt{r_1}|φ\rangle$ を達成した。これにより、最大確率に達するプロトコルの存在が証明された。
• 単一コピー変換の最大変換確率は $P(|ψ\rangle \to |φ\rangle) = r_1$ で抑えられ、この値は構築されたプロトコルによって達成可能である。
• $n_{|ψ\rangle} < n_{|φ\rangle}^2$ の場合、$N \geq 2$ に対して $|ψ\rangle$ から $|φ\rangle^{⊗ N}$ への変換の最大確率はゼロであるため、この場合には $m_{|ψ\rangle \to |φ\rangle}^{\text{max}} = P(|ψ\rangle \to |φ\rangle)$ が成り立つ。
• 非加法的挙動が実証された：$|ψ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)$ および $|φ\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle)$ の場合、$P(|ψ\rangle^{⊗ 2} \to |φ\rangle) = 1 > P(|ψ\rangle \to |φ\rangle) = 0$ であり、2つのコピーが1つのコピーの2倍以上の整合性をもたらすことが示された。