[論文レビュー] Cohomological Aspects of Magnus Expansions

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|May 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 96

ひとこと要約

本稿は、自由群の自己同型群へとジョンソン同型を一般化するためのマグヌス展開を導入し、『ジョンソン写像』を定義することで、トーリ・群から全自己同型群へと拡張する。これらの写像はコブロード境界関係を満たす。最初のジョンソン写像は、『固有の基本粒子』と呼ばれるモイラ・マムフォード類に対応するコhomology類を持つねじれ1-コサイクルであることが示され、ねじれモイラ・マムフォード類の基本的関係を統一的に証明する。また、最初のジョンソン写像は、自己同型群 $ olinebreak[4]\operatorname{Aut}(F_n)$ 上で非自明な有理コhomology類を生成しないことが示され、これは写像類群とは対照的である。

ABSTRACT

We generalize the notion of a Magnus expansion of a free group in order to extend each of the Johnson homomorphisms defined on a decreasing filtration of the Torelli group for a surface with one boundary component to the whole of the automorphism group of a free group $\operatorname{Aut}(F_{n})$. The extended ones are {\it not} homomorphisms, but satisfy an infinite sequence of coboundary relations, so that we call them {\it the Johnson maps}. In this paper we confine ourselves to studying the first and the second relations, which have cohomological consequences about the group $\operatorname{Aut}(F_{n})$ and the mapping class groups for surfaces. The first one means that the first Johnson map is a twisted 1-cocycle of the group $\operatorname{Aut}(F_{n})$. Its cohomology class coincides with ``the unique elementary particle" of all the Morita-Mumford classes on the mapping class group for a surface [Ka1] [KM1]. The second one restricted to the mapping class group is equal to a fundamental relation among twisted Morita-Mumford classes proposed by Garoufalidis and Nakamura [GN] and established by Morita and the author [KM2]. This means we give a simple and coherent proof of the fundamental relation. The first Johnson map gives the abelianization of the induced automorphism group $IA_n$ of a free group in an explicit way.

研究の動機と目的

• トーリ群から全自己同型群 $\operatorname{Aut}(F_n)$ へとジョンソン同型を一般化マグヌス展開を用いて拡張すること。
• 『ジョンソン写像』を定義・研究する——非準同型写像であり、無限大のコブロード境界関係を満たすもので、特に最初および第二の関係に注目する。
• 最初のジョンソン写像が、$H^* \otimes \Lambda^2 H$ に値をとるねじれ1-コサイクルであり、そのコhomology類がすべてのモイラ・マムフォード類の『固有の基本粒子』に対応することを確立すること。
• 第二のジョンソン写像を写像類群 $\mathcal{M}_{g,1}$ に制限したとき、ねじれモイラ・マムフォード類の基本的関係を回復でき、この重要な関係に対する新たな一貫性のある証明を提供すること。
• 最初のジョンソン写像が、$\operatorname{Aut}(F_n)$ の $IA_n$ 部分群の明示的なアーベル化を与えること。

提案手法

• 自由群のホモロジー $H$ を用いて、$\operatorname{Aut}(F_n)$ から $H^*$ と $\Lambda^2 H$ のテンソル積への写像としてジョンソン写像を定義するため、マグヌス展開を一般化する。
• 群コホモロジーにおけるリンドン＝ホイッチヒル＝セル・スペクトル系列を用いてジョンソン写像のコホモロジー的性質を分析する。
• 最初のジョンソン写像を、$H^* \otimes \Lambda^2 H$ に値をとるねじれ1-コサイクルとして定義し、そのコホモロジー類を $(1,1)$-ねじれモイラ・マムフォード類 $m_{1,1}$ と特定する。
• 第二のジョンソン写像が、ガルークファリスとナカムラの予想に従い、モイラと著者によって証明されたねじれモイラ・マムフォード類の基本的関係に等価なコブロード境界関係を満たすことを確立する。
• $\operatorname{GL}(H_\mathbb{Z})$-加群の不変量を計算するため、表現論とトーラス不変性の議論を用い、$m \geq 1$ に対して $f_*(h_1^{ imes m}) = 0$ が有理コホモロジーで成り立つことを示す。
• $\operatorname{Aut}(F_n)$ の仮想コホモロジー次元が $2n-2$ であることを利用して、$m \geq 2n-1$ のとき $H^m(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q}) = 0$ であることを結論づけ、表現論的議論と組み合わせて不安定領域における消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリ群上で定義されたジョンソン同型を、自由群の全自己同型群 $\operatorname{Aut}(F_n)$ へどのように拡張できるか？
• RQ2 拡張された写像（ジョンソン写像と呼ばれる）が満たすコホモロジー的構造は何か？ そしてねじれモイラ・マムフォード類とどのように関係するか？
• RQ3 最初のジョンソン写像は、なぜ写像類群とは対照的に、$\operatorname{Aut}(F_n)$ 上で非自明な有理コホモロジー類を生成しないのか？
• RQ4 最初のジョンソン写像のコホモロジー類が、モイラ・マムフォード類の『固有の基本粒子』とどのように関係するか？
• RQ5 ねじれモイラ・マムフォード類の基本的関係を、ジョンソン写像を用いてより単純で一貫性のある方法で再導出できるか？

主な発見

• 最初のジョンソン写像は、$\operatorname{Aut}(F_n)$ 上のねじれ1-コサイクルであり、そのコホモロジー類は $(1,1)$-ねじれモイラ・マムフォード類 $m_{1,1}$ と一致する。このクラスは、すべてのモイラ・マムフォード類の『固有の基本粒子』と特定される。
• 第二のジョンソン写像を写像類群 $\mathcal{M}_{g,1}$ に制限したとき、ねじれモイラ・マムフォード類の基本的関係が回復され、この重要な関係に対する新たな単純な証明が得られる。
• 最初のジョンソン写像は、$\operatorname{Aut}(F_n)$ の $IA_n$ 部分群の明示的なアーベル化を与える。
• $m \geq 1$ および任意の $\operatorname{GL}(H_\mathbb{Z})$-不変線形形式 $f$ に対して、$H^m(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q})$ 内で $f_*(h_1^{ imes m})$ の類が消える。これは、最初のジョンソン写像が $\operatorname{Aut}(F_n)$ 上で非自明な有理コホモロジー類を生成しないことを証明する。
• この消滅は、写像類群とは対照的に、不安定領域でも成り立つ。写像類群では同様の写像がすべてのモイラ・マムフォード類を生成するが、$\operatorname{Aut}(F_n)$ 上ではそうではない。
• ガラティウスの安定消滅定理 $\widetilde{H}^k(\operatorname{Aut}(F_n); \mathbb{Q})$ が $n > 2k+1$ のとき成り立つことと整合するが、本稿では表現論とコホモロジー次元の議論を用いて、すべての $n$ および $m \geq 1$ に対して独立に消滅を示している。