[論文レビュー] Cohomological localization for transverse Lie algebra actions on Riemannian foliations

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上のフォリエーションにおけるアーベルリー代数の横断的作用に対するコhomological局在定理を確立し、Killingフォリエーションを超えて結果を拡張する。局在化された等置基本コホモロジーにおけるBorel-Atiyah-Segal型の同型と、Atiyah-Bott-Berline-Vergne風の積分公式を証明し、横断的にシンプレクティックなフォリエーションに対するDuistermaat-Heckman定理を導く。

ABSTRACT

We prove localization and integration formulas for the equivariant basic cohomology of Riemannian foliations. As a corollary we obtain a Duistermaat-Heckman theorem for transversely symplectic foliations.

研究の動機と目的

• Killingフォリエーションを超えて、リーマンフォリエーションに横断的に作用する外部のアーベルリー代数対称性を含めたコホモロジー的局在公式を拡張すること。
• Goertschesら（2014年）が提起した未解決問題を解決する：横断的リー代数作用の文脈における反変Borel-Atiyah-Segal局在定理。
• リーマンフォリエーションにおける横断的等長作用を持つ等置基本コホモロジーに対する共変型Atiyah-Bott-Berline-Vergne局在公式を確立すること。
• 主な局在結果の系として、横断的にシンプレクティックなフォリエーションに対するDuistermaat-Heckman定理を導出すること。
• 作用アーベルモノイドを一般化し、非リーマンフォリエーションへの将来的な応用を可能にする、横断的作用アーベルモノイドの枠組みを構築すること。

提案手法

• 本稿は、フォリエーション多様体上のアーベルリー代数作用から横断的作用アーベルモノイドを構成し、これはおそらく非Hausdorffなリー群ガードに統合可能である。
• 先行研究（LinとSjamaar, 2020）における等置トム同型定理を適用して、等置基本コホモロジーにおける局在を確立する。
• Borel-Atiyah-Segal局在は、双対リー代数の対称代数から原点を除いた部分集合を用いた、局在化された等置基本コホモロジー環における局在同型を用いて証明される。
• Atiyah-Bott-Berline-Vergne公式は、固定葉成分における横断的積分を用いて導出され、等置基本オイラー形式と等置オイラー類の逆数が含まれる。
• 研究の枠組みは、特にKillingフォリエーションにおける中心化子層とそのグローバルアーベル構造に着目したMolinoの構造論に依存する。
• 著者らは、横断的de Rham複体と、等置微分 $d_{rak{g}}$ に関して閉じた等置基本形式を用いて、コホモロジー的不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Killingフォリエーションからリーマンフォリエーションへのコホモロジー的局在定理を、横断的に作用する追加の外部アーベルリー代数対称性を含めて拡張できるか？
• RQ2 横断的リー代数作用を持つリーマンフォリエーションにおける局在化された等置基本コホモロジーにおいて、Borel-Atiyah-Segal型の同型が成立するか？
• RQ3 この一般化された設定において、等置基本コホモロジーに対するAtiyah-Bott-Berline-Vergne風の積分公式を定式化できるか？
• RQ4 横断的作用アーベルモノイドの構造は何か？また、スライス定理が成立しない状況であっても、リー群ガードに統合可能か？
• RQ5 この局在枠組みは、横断的にシンプレクティックなフォリエーションに対してDuistermaat-Heckman定理を導くか？

主な発見

• 固定葉多様体 $M^{rak{g}}$ の $M$ への包含写像は、局在化された等置基本コホモロジーにおいて同型を誘導する：$S^{-1}H_{rak{g}}(M,{rak{F}}) \to S^{-1}H_{rak{g}}(M^{rak{g}},{rak{F}})$、ここで $S$ は乗法的部分集合 $S\frak{g}^{*} \setminus \{0\}$ である。
• Atiyah-Bott-Berline-Vergne積分公式が成立する：$\fint_M \alpha = \sum_X \fint_X \eta_X^{-1} \wedge i_X^*\alpha$、ここで $X$ は $M^{rak{g}}$ の連結成分を走り、$\eta_X$ は等置基本オイラー形式であり、$\fint$ は横断的積分を表す。
• Duistermaat-Heckman定理は系として得られる：横断的にシンプレクティックなフォリエーションに等長的横断的 $\frak{g}$-作用がある場合、等置閉じた基本形式の横断的積分は、固定成分を渡る和で表され、逆オイラー類が含まれる。
• 横断的作用アーベルモノイド $\frak{g} \ltimes \frak{F}$ は、必ずしもHausdorffでないリー群ガードに統合可能であることが示された。これは作用アーベルモノイドの構成を一般化する。
• 等長的横断的リー代数作用に対して、軌道型の層別定理が確立された。これは、スライス定理が失敗する状況であっても、適切な群作用に類似した構造を持つ。
• 結果は、トーリック準多様体の基本ベッチ数の計算を可能にし、その後続の応用（Lin, 2020, §6）でその例示がなされている。