[論文レビュー] Cohomologies of deformations of solvmanifolds and closedness of some properties

Daniele Angella, Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、可解多様体の変形におけるDolbeaultおよびBott-Chernコホモロジーを有限次元部分複体を用いて計算する技術を開発し、$ partial\bar{\partial}$-lemmaおよびFrölicherスペクトル系列の$E_1$-退化が、正則変形に関して閉じていないことを示している。具体的な例、特に変形されたNakamura多様体を含み、これらの性質が近傍の変形では成り立つが、極限では成り立たないことを示している。

ABSTRACT

We provide further techniques to study the Dolbeault and Bott-Chern cohomologies of deformations of solvmanifolds by means of finite-dimensional complexes. By these techniques, we can compute the Dolbeault and Bott-Chern cohomologies of some complex solvmanifolds, and we also get explicit examples, showing in particular that either the $\partial\overline{\partial}$-Lemma or the property that the Hodge and Frölicher spectral sequence degenerates at the first level are not closed under deformations.

研究の動機と目的

• 正則変形下での可解多様体のDolbeaultおよびBott-Chernコホモロジーの計算技術を拡張すること。
• 特に$ partial\bar{\partial}$-lemmaおよび$E_1$-退化といったコホモロジー的性質が、小さな正則変形の下で安定するかを調査すること。
• すべての変形点で成り立つが、極限点では成り立たない例を明示的に提供すること。
• 変形の下でのコホモロジー的性質の、開性と閉性（Zariski位相における）の違いを明確にすること。

提案手法

• 微分形式の二重複体の有限次元部分複体を用いて、変形された可解多様体のDolbeaultおよびBott-Chernコホモロジーを計算する。
• 特にKodaira-Spencer理論による小さな変形を用いた、可解多様体上の複素構造族$\{J_t\}_{t \in B}$の変形理論を適用する。
• $ partial\bar{\partial}$-lemma 条件およびスペクトル系列の退化を、変形の下での安定性をテストするコホモロジー的不変量として用いる。
• 正則平行化可能なNakamura多様体とその小さな変形を分析し、閉性に対する反例を構成する。
• 関係式$H^{\bullet,\bullet}_{\bar{\partial}}(B_\Gamma^{\bullet,\bullet}(t)) \cong H^{\bullet,\bullet}_{\bar{\partial}_t}(\Gamma \backslash G)$ を用いて、コホモロジー計算を有限次元複体に還元する。
• ニルマンイドおよび可解多様体に関する先行研究の結果を応用し、元の構造クラスを超えてコホモロジーの計算可能性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解多様体の正則変形において、$ partial\bar{\partial}$-lemma は保存されるか？
• RQ2 ホッジおよびFrölicherスペクトル系列の$E_1$-退化は、小さな正則変形の下でも安定するか？
• RQ3 有限次元部分複体を用いて、変形された可解多様体のDolbeaultおよびBott-Chernコホモロジーを効果的に計算できるか？
• RQ4 すべての変形点で$ partial\bar{\partial}$-lemma が成り立つが、極限変形では成り立たないような可解多様体の明示的例はあるか？
• RQ5 複素トーラス上の正則ファイバー・バンドルでない変形された可解多様体に対しても、Dolbeaultコホモロジーは計算可能か？

主な発見

• $ partial\bar{\partial}$-lemma は正則変形に関して閉じていない：族$\{X_t\}_{t \in \Delta}$が存在し、$t_k \to 0$ のとき$X_{t_k}$は$ partial\bar{\partial}$-lemma を満たすが、$X_0$ は満たさない。
• ホッジおよびFrölicherスペクトル系列の$E_1$-退化も正則変形に関して閉じていないことが確認され、Zariski位相における非閉性が裏付けられた。
• 変形されたNakamura多様体では、$\dim H^{1,0}_{\bar{\partial}_t}(X) = 0$ および $\dim H^{2m+1,0}_{\bar{\partial}_t}(X) = 0$ であり、非自明なコホモロジー的性質を示している。
• 変形された可解多様体は$t \frac{\partial}{\partial z} \otimes e^{k_1 z} \bar{y}_{2,1}$を用いて構成され、複素トーラス上の正則ファイバー・バンドルではないため、新たな計算可能な例を提供している。
• 変形された可解多様体のDolbeaultコホモロジーは、有限次元部分複体$B_\Gamma^{\bullet,\bullet}(t)$のそれと同型であり、効果的な計算が可能である。
• この例により、$ partial\bar{\partial}$-lemma を満たすある種のコンパクト複素多様体がFujikiクラス$\mathcal{C}$に属さないことが示され、クラス$\mathcal{C}$の安定性に関する期待とは反する結果となった。