[论文解读] Cohomology and Obstructions II: Curves on K-trivial threefolds

Herbert Clemens|ArXiv.org|Jun 20, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 30

一句话总结

本文利用库朗希理论，为基三叉三叠面上曲线的局部解析希尔伯特概形建立了一个梯度方案形式，表明其作为全纯函数外导数的零点集而出现。此外，还为向量丛和布里尔-诺伊曼簇构造了类似的梯度方案，并通过戈尔茨-曼因联络与相对上同调重新诠释了阿贝尔-雅可比映射，将形变理论与中间雅可比簇联系起来。

ABSTRACT

On a threefold with trivial canonical bundle, Kuranishi theory gives an algebro-geometry construction of the (local analytic) Hilbert scheme of curves at a smooth holomorphic curve as a gradient scheme, that is, the zero-scheme of the exterior derivative of a holomorphic function on a (finite-dimensional) polydisk. (The corresponding fact in an infinite dimensional setting was long ago discovered by physicists.) An analogous algebro-geometric construction for the holomorphic Chern-Simons functional is presented giving the local analytic moduli scheme of a vector bundle. An analogous gradient scheme construction for Brill-Noether loci on ample divisors is also given. Finally, using a structure theorem of Donagi-Markman, we present a new formulation of the Abel-Jacobi mapping into the intermediate Jacobian of a threefold with trivial canonical bundle.

研究动机与目标

• 利用库朗希理论，发展基三叉三叠面上曲线局部解析希尔伯特概形的全纯梯度方案描述。
• 将此梯度方案构造推广至此类三叠面上全纯向量丛的模空间。
• 为基三叉三叠面上充分大除子上的布里尔-诺伊曼簇制定类似的梯度方案。
• 通过戈尔茨-曼因联络与相对上同调，重新表达阿贝尔-雅可比映射至中间雅可比簇。
• 通过基三叉三叠面上的塞尔对偶性，统一形变理论障碍与上同调对偶。

提出的方法

• 应用库朗希理论，将曲线的局部希尔伯特概形实现为有限维多圆盘上全纯函数外导数的零点集。
• 利用基三叉三叠面上的塞尔对偶性，通过迹映射将一阶形变 $\operatorname{Ext}^1(A,A)$ 与障碍 $\operatorname{Ext}^2(A,A)$ 关联至 $H^3(\mathcal{O}_{X_0}) = \mathbb{C}$。
• 构造一个全纯陈-西蒙斯泛函，其梯度给出向量丛的模空间。
• 对于布里尔-诺伊曼簇，利用局部到整体谱序列与戈尔茨-曼因联络，定义阿贝尔-雅可比映射的微分。
• 将阿贝尔-雅可比映射的微分与戈尔茨-曼因联络作用于除子上线丛的一阶陈类相联系。
• 利用多纳吉-马克曼结构定理，将阿贝尔-雅可比映射重新表述为相对上同调与戈尔茨-曼因联络的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基三叉三叠面上光滑曲线 $Y_0$ 的局部解析希尔伯特概形描述为一个梯度方案？
• RQ2 此类三叠面上全纯向量丛模空间的类似梯度方案构造为何？
• RQ3 如何将充分大除子上线丛的形变理论与戈尔茨-曼因联络及上同调相联系？
• RQ4 阿贝尔-雅可比映射至中间雅可比簇的微分，在诺特-莱夫谢茨子簇上如何与该映射的微分相关联？
• RQ5 多纳吉-马克曼结构定理在此背景下如何改进阿贝尔-雅可比映射的描述？

主要发现

• 基三叉三叠面 $X_0$ 中光滑曲线 $Y_0$ 的局部解析希尔伯特概形，微分同构于有限维多圆盘上全纯函数外导数的零点集。
• 基三叉三叠面 $X_0$ 上全纯向量丛的模空间，亦可通过全纯陈-西蒙斯泛函的梯度方案来描述。
• 对于一个非常充分大除子 $S_0$ 及其满足在 $H_2(X_0;\mathbb{Z})$ 中陈类为零的线丛 $L_0$，对偶 $(S_0, L_0)$ 的形变理论由涉及戈尔茨-曼因联络的梯度方案构造所控制。
• 在诺特-莱夫谢茨子簇上，阿贝尔-雅可比映射的微分被识别为戈尔茨-曼因联络作用于相对上同调类的结果，且该微分对应于一个同调平凡 1-循环的阿贝尔-雅可比不变量。
• 阿贝尔-雅可比映射至中间雅可比簇通过同构 $\nabla\tau: T_{\tilde{X}'} \cong F^2H^3(\tilde{X}/\tilde{X}')$ 重新表达，表明 $d\Phi_{BN}$ 提升了阿贝尔-雅可比不变量。
• 该构造通过在相对 3-链 $\Gamma_{u'}$ 上的积分，精确建立了阿贝尔-雅可比映射微分与族的上同调数据之间的联系。