[論文レビュー] Cohomology of convex cocompact groups and invariant distributions on limit sets

Martin Olbrich|ArXiv.org|Jul 31, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、凸コンパクトな群の群コホモロジーとその極限集合上での不変分布の間のホッジ理論的同型を確立し、実双曲的多様体に対するパットンソンの予想を証明する。Eisenstein級数と表現論を用いて、$L^2$-コホモロジーを超関数に係数を持つコホモロジーと関連づけ、明確な消滅結果を導出し、ユニタリ表現および多重性空間 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ を用いて高次コホモロジー群を計算する。

ABSTRACT

This paper contains a thorough investigation of invariant distributions supported on limit sets of discrete groups acting convex cocompactly on symmetric spaces of negative curvature. It can be considered as a continuation of math.DG/9810146. Based on this investigation we provide proofs of the Hodge theoretic results for the cohomology of real hyperbolic manifolds announced in math.DG/0009038, improve the bounds for the critical exponents obtained by Corlette for the quaternionic and the Cayley case, compute the L^2-cohomology for the corresponding locally symmetric spaces, prove a version of the Harder-Borel conjecture for real hyperbolic manifolds, and compute higher cohomology groups with coefficients in hyperfunctions supported on the limit set.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな双曲的多様体に対するホッジ理論に関するパットンソンの予想を証明し、群コホモロジーと極限集合上での不変分布を関連付ける。
• 凸コンパクト群に関連する局所的に対称な空間の $L^2$-コホモロジーを計算する。
• 実双曲的多様体に対するハーダー＝ボレル予想のバージョンを確立する。
• 極限集合に台を持つ超関数に係数を持つ高次コホモロジー群の構造を特定する。
• 多重性空間 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ が $L^2$-コホモロジーにおける役割と、離散系列およびカスプ形式との関係を明確化する。

提案手法

• BGG分解（Želobenko複体）を用いて、境界 $\partial X = S^{n-1}$ 上の分布的セクションを通じてコホモロジーを実現し、$G$-表現のアサイクル複体を形成する。
• パrameter $s$ を持つEisenstein級数 $E^p_s(\phi)$ を分析し、$s = p - \frac{n+1}{2}$ における挙動に注目し、ここでの値が閉じた調和形式を与えることを示す。
• $G = \mathrm{PO}(n,1)$ の表現論を適用して、$L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)$ を既約成分に分解し、$U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ が $L^2$-コホモロジーの原始的部品として特定されることを示す。
• 普遍包あらゆる代数の中心 $\mathcal{Z}(\mathfrak{g})$ の作用を用いて、固定された無限小特性 $\chi_F$ を持つ成分を分離し、$C^{-\infty}(\partial X, V(F,p))$ の構成に至る。
• 超関数および $G$-不変コホモロジーの理論を用いて、コホモロジー類を $Y = \Gamma\backslash X$ 上の閉形式および余閉形式の境界値として解釈する。特に $\Gamma$-不変部分空間 $Z^{n-p}_{F,\Lambda}$ を通じて解釈する。
• $\Gamma\backslash G$ 上の調和解析を用いて、$L^2$-コホモロジーとカスプ形式およびシュワーツ空間 $^{0}\mathcal{C}(\Gamma\backslash G, \varphi)$ を関連づけ、$L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_{cusp} \oplus L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ がカスプ形式空間の閉包であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸コンパクト群 $\Gamma$ の群コホモロジー $H^p(\Gamma, F)$ は、極限集合 $\Lambda$ 上の $\Gamma$-不変分布の空間 $Z^{n-p}_{F,\Lambda}$ に同型に写像されるか？
• RQ2 局所的に対称な空間 $Y = \Gamma\backslash X$ に対して、$L^2$-コホモロジー群 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ の構造は何か？
• RQ3 多重性空間 $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ は、$L^2$-コホモロジーの原始的部品および離散系列とどのように関係するか？
• RQ4 自然写像 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) \to H^p(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ が同型または全射となる条件は何か？
• RQ5 $L^2$-コホモロジーおよびカスプ形式の文脈において、空間 $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ の意味は何か？

主な発見

• 本稿はパットンソンの予想を証明した：$H^p(\Gamma, F) \cong Z^{n-p}_{F,\Lambda}$ であり、コホモロジーと極限集合上での不変分布との間のホッジ理論的同型を確立した。
• 実双曲的多様体では、$p \geq \frac{n+1}{2}$ のとき自然写像 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) \to H^p(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ は同型であり、$p = \frac{n}{2}$ のとき全射である。
• $L^2$-コホモロジー群 $\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi))$ は、$p \notin S_X$ かつ $p \neq \frac{\dim Y}{2}$ のとき消える。ここで $S_X$ は対称空間 $X$ に依存する臨界帯である。
• 一般の $F$ に対して、$\mathcal{H}^p_{(2)}(Y, E(\pi \otimes \varphi)) = \{0\}$ となる。これは、一般の係数に対して強い消滅を示している。
• $U_\Lambda(\sigma_{\lambda}, \varphi)$ は $L^2$-コホモロジーの原始的部品として現れ、調和解析における離散系列が果たす役割と類似した役割を果たす。
• $\Gamma\backslash G$ 上のカスプ形式空間の閉包は $L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_{cusp} \oplus L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ であり、$L^2(\Gamma\backslash G, \varphi)_U$ は関連する $\sigma$ に関する $U_\Lambda(\sigma, \varphi)$ の直和に同型である。