[論文レビュー] Coincidence theory in arbitrary codimensions: the minimizing problem

Ulrich Koschorke|ArXiv.org|Jun 1, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の余次元における多様体間の2つの写像の間の最小一致成分数を研究するための正規ボルディズム理論的枠組みを構築する。パス成分とねじれ正規バンドルを用いた不変量の構成により、最小一致数の下界が確立され、ニールセン理論が高余次元に一般化され、球面から奇数次元の球面空間形式への写像に対して、最小一致数が基本群または次数を含む計算可能な不変量に等しいことを証明する。

ABSTRACT

Coincidences of maps between smooth manifolds are studied via a geometric approach which involves (nonstabilized) normal bordism theory and pathspaces.

研究の動機と目的

• 固定点理論のニールセン理論を、離散的点ではなく多様体である一致集合をもつ任意の余次元における一致理論へ一般化すること。
• ホモトピーのもとで最小一致成分数の下界を提供する新しい不変量 $N(f_1,f_2)$ および $N^\#(f_1,f_2)$ を定義すること。
• 正規ボルディズムとパス空間分解を用いた枠組みを確立し、一致軌道にかかる幾何学的および位相的制約を捉えること。
• 球面から奇数次元の球面空間形式への写像に対して、理論を応用し、最小一致数を計算し、多くの場合に完全な分類を達成すること。

提案手法

• 本稿は、安定化されていない正規ボルディズム理論を用い、一致多様体 $C(f_1,f_2)$、$M$ への埋め込み、および安定正規バンドル同型を組み込んだボルディズム集合 $\Omega^\#(f_1,f_2)$ 内で、洗練された不変量 $\omega^\#(f_1,f_2)$ を定義する。
• $E(f_1,f_2)$ を $f_1(x)$ から $f_2(x)$ へのパスの空間とする。写像 $\widetilde{g}: C(f_1,f_2) \to E(f_1,f_2)$ を構成し、そのパス成分はリーディスターセット $R(f_1,f_2)$ に対応する。
• 不変量 $\widetilde{\omega}(f_1,f_2)$ は正規ボルディズム群 $\Omega_{m-n}(E(f_1,f_2); \widetilde{\varphi})$ に属し、係数バンドル $\widetilde{\varphi} = \mathrm{pr}^*(f_1^*(TN) - TM)$ を持ち、一致軌道の幾何を符号化する。
• $E(f_1,f_2)$ のパス成分に沿った $\widetilde{g}$ の逆像としての $C(f_1,f_2)$ の分解により、$N(f_1,f_2)$ および $N^\#(f_1,f_2)$ を非自明なボルディズム寄与の数として定義する。
• $M = S^m$ および $N$ が奇数次元の球面空間形式である場合、$\Omega^\#(f_1,f_2)$ は $\pi_m(S^n \wedge \Omega(N)^+)$ と同定され、問題が安定ホモトピー論と結びつく。
• このアプローチは $N \times \mathbb{R}$ 内のリンク写像へ拡張され、アンリンク化の障害およびリンクホモトピー類のニールセン数を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元における多様体 $M$ から $N$ への2つの写像 $f_1,f_2$ に対して、ホモトピーによって達成可能な最小一致成分数 $MCC(f_1,f_2)$ は何か？
• RQ2 固定点理論から派生するニールセン型不変量を、一致集合が点ではなく多様体である正の余次元において、一致理論へどのように一般化できるか？
• RQ3 パス空間 $E(f_1,f_2)$ 及びその基本群作用を用いて、一致軌道を分解し、$MCC(f_1,f_2)$ の計算可能な下界を定義できるか？
• RQ4 球面から奇数次元の球面空間形式への写像に対して、$MCC(f_1,f_2)$ の正確な値は何か？また、ホモトピー型および次数に依存するか？
• RQ5 不変量 $N(f_1,f_2)$ および $N^\#(f_1,f_2)$ は、リンク写像におけるアンリンク化の障害をどの程度検出できるか？

主な発見

• 写像 $f_1,f_2: S^m \to N$ に対して $N$ が奇数次元の球面空間形式であるとき、$MCC(f_1,f_2) = N^\#(f_1,f_2)$ が成り立ち、$f_1 \sim f_2$ または $m < n$ ならば 0 に等しく、$f_1 \not\sim f_2$ かつ $m > 1$ ならば $\#\pi_1(N)$ に等しく、$m = n = 1$ ならば $|d^0(f_1) - d^0(f_2)|$ に等しい。
• $N(f_1,f_2)$ は対称的である：$N(f_1,f_2) = N(f_2,f_1)$ であり、$f_1$ および $f_2$ のホモトピーに関して不変であるため、下界としての頑健性が保証される。
• 不等式 $0 \leq N(f_1,f_2) \leq N^\#(f_1,f_2) \leq MCC(f_1,f_2) < \infty$ が成り立ち、$N$ および $N^\#$ が最小一致数の有効な下界であることが示される。
• $m = n$ のとき、$N(f_1,f_2) = N^\#(f_1,f_2)$ は古典的ニールセン数と一致し、その定義が一致理論へ拡張される。
• $\omega^\#(f_1,f_2)$ の $\Omega^\#(f_1,f_2)$ 内での構成は、$\widetilde{\omega}(f_1,f_2)$ よりも鋭い不変量を提供し、非安定化正規バンドルデータを捉える。
• この枠組みにより、$N \times \mathbb{R}$ 内のリンク写像に対するアンリンク化の障害が得られ、一部の場合はこれらの不変量を用いたリンクホモトピー類の完全な分類が可能になる。