[論文レビュー] Coisotropic Hypersurfaces in the Grassmannian

Kathlén Kohn|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Polynomial and algebraic computation被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、接空間上のランク1条件によるグレイスマン多様体内の共変曲面の特徴付けの簡略化された証明を提示し、射影的双対性に関して不変であることを確立し、セグレ多様体に関しては極度数とハイパードテルミナントによって定義されることを示す。また、多様体とその共変曲面の間の変換を計算するためのMacaulay2パッケージを導入する。

ABSTRACT

To every projective variety $X$, we associate a family of hypersurfaces in different Grassmannians, called the coisotropic hypersurfaces of $X$. These include the Chow form and the Hurwitz form of $X$. Gel'fand, Kapranov and Zelevinsky characterized coisotropic hypersurfaces by a rank one condition on tangent spaces. We present a new and simplified proof of that result. We show that the coisotropic hypersurfaces of $X$ equal those of its projectively dual variety $X^\vee$, and that their degrees are the polar degrees of $X$. Coisotropic hypersurfaces of Segre varieties are defined by hyperdeterminants, and all hyperdeterminants arise in that manner. We derive new equations for the Cayley variety which parametrizes all coisotropic hypersurfaces of given degree in a fixed Grassmannian. We provide a Macaulay2 package for transitioning between $X$ and its coisotropic hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 接空間上のランク1条件によるグレイスマン多様体内の共変曲面の特徴付けの、新たな簡略化された証明を提供すること。
• 射影的双対多様体 $X^\vee$ との共変曲面が、射影多様体 $X$ の共変曲面と一致することを確立すること。
• 共変曲面の次数が、$X$ の極度数に一致することを示し、古典的不変量と関連付けること。
• セグレ多様体の共変曲面がハイパードテルミナントによって定義されることを示し、すべてのハイパードテルミナントがこの方法で得られることを示すこと。
• 固定されたグレイスマン多様体内で固定次数の共変曲面をパラメトライズするキャリーや多様体の定義方程式を導出すること。

提案手法

• ゲルファンド、カプラノフ、ゼレヴィンスキーに従い、共変曲面の定義基準として接空間上のランク1条件を用いる。
• 代数幾何学における双対性理論を応用し、$X$ と $X^\vee$ の共変曲面を関連付ける。
• 既知の代数幾何学の公式を用いて、共変曲面の次数を極度数として計算する。
• 多次元行列式に関する既知の結果を活用し、セグレ多様体の共変曲面をハイパードテルミナントによって構成する。
• 固定次数の超曲面に対する代数的・幾何的制約を用いて、キャリーや多様体の定義方程式を導出する。
• 多様体 $X$ とその関連する共変曲面との間の対応を計算するためのMacaulay2パッケージを実装し、計算的実験を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接空間上のランク1条件による共変曲面の特徴付けを、より簡潔に再証明する方法は何か？
• RQ2 多様体 $X$ の共変曲面とその射影的双対多様体 $X^\vee$ の共変曲面との関係は何か？
• RQ3 共変曲面の次数は、$X$ の極度数とどのように関係するか？
• RQ4 どの超曲面がセグレ多様体の共変曲面として現れ、すべてのハイパードテルミナントがこの方法で得られるか？
• RQ5 固定されたグレイスマン多様体内で固定次数の共変曲面をパラメトライズするキャリーや多様体の定義方程式は何か？

主な発見

• $X$ の共変曲面は、その射影的双対多様体 $X^\vee$ の共変曲面と同一であり、双対性不変性の性質を確立する。
• $X$ の共変曲面の次数は、$X$ の極度数に正確に一致し、古典的代数的不変量と関連付ける。
• セグレ多様体の共変曲面はハイパードテルミナントによって定義され、すべてのハイパードテルミナントがこの方法で得られる。
• 固定次数の共変曲面をパラメトライズするキャリーや多様体は、幾何的制約から導かれる明示的定義方程式を有する。
• 多様体 $X$ とその関連する共変曲面との間の変換を計算するためのMacaulay2パッケージが実装され、アルゴリズム的探索を可能にする。