[論文レビュー] Collatz Cycles and $3n+c$ Cycles

Darrell Cox, Sourangshu Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、床関数および床関数を用いたパリティ・ベクトルを用いて、一般化されたコラッツ問題における3n + c サイクルを調査し、サイクル内の最小および最大の奇数要素を特定する。これらの極値要素が同じサイクル内に存在することを示し、2つの線形合同式によって、床関数および床関数から生成されたパリティ・ベクトルの回転に基づく対応関係を確立する。さらに、1つの合同式によって生成される自然数が、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点に類似した統計的性質を示すことを明らかにする。

ABSTRACT

Halbeisen and Hungerbuhler determined optimal bounds for the length of rational Collatz cycles. Their methods are extended to $3n+c$ cycles. Another sequence having properties similar to those of Riemann zeta function zeros is introduced.

研究の動機と目的

• 3n + c サイクルの構造を、3で割り切れない奇数 c に対して特徴づけること。これは古典的コラッツ予想の結果を拡張することを目的とする。
• 床関数および床関数によって生成されるパリティ・ベクトルを用いて、3n + c サイクル内の最小および最大の奇数要素を特定すること。
• 2つの線形合同式によって制御される回転に基づき、床関数生成パリティ・ベクトルと床関数生成パリティ・ベクトルの間の対応関係を確立すること。
• 1つの合同式によって生成される自然数の統計的分布を調査し、リーマン・ゼータ関数の零点の分布と比較すること。
• サイクルの原始性、部分ベクトルの繰り返し、および単純なサイクル（例：c = -1 または c = 1）への還元との関係を調査すること。

提案手法

• サイクル内の最大の奇数要素に対応するパリティ・ベクトルを床関数によって生成し、最小の奇数要素に対応するパリティ・ベクトルを床関数によって生成する。
• 最小の奇数要素 M_{l,n} を計算する関数 ϕ(s) = ∑_{j=1}^{l} (⌈jn/l⌉ - ⌈(j-1)n/l⌉) · 2^{j-1} · 3^{n - ⌈jn/l⌉} を適用する。この関数は、長さ l で奇数要素が n 個のサイクルにおける最小の奇数要素を求める。
• N_{l,n} = 2M_{l,n} - ∑_{i=0}^{r-1} 2^i(l/r) · 3^{n-1-i(n/r)} を用いて、サイクル内での最大の奇数要素の上界を定義する。
• 床関数生成パリティ・ベクトルの回転を用いて、床関数生成ベクトルと一致させることで、M_{l,n} および N_{l,n} が同じサイクル内に存在することを示す。
• n−x およびゼータ関数の零点から導かれる系列に対して、モービウス関数の畳み込みを適用し、正規性および統計的類似性をテストする。
• 最小二乗法を用いて、素数 l におけるパリティ・ベクトル基底の基本要素数および素因数の個数をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3n + c サイクル内の最小および最大の奇数要素は、常に同じサイクルに属するため、それに対応するパリティ・ベクトルが回転によって一致可能であるか？
• RQ2 最小の奇数要素 M_{l,n} に関連する線形合同式によって生成される自然数の統計的挙動は何か？ また、リーマン・ゼータ関数の零点の分布と比較してどうなるか？
• RQ3 特に部分ベクトルの繰り返しや gcd(l,n) を含むパリティ・ベクトルの性質は、3n + c サイクルの原始性および還元可能性にどのように影響するか？
• RQ4 n−x またはゼータ関数の零点から導かれる系列とモービウス関数の畳み込みによって得られる差の分布は、正規分布に近いか？ これは、元の系列構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 パリティ・ベクトルの基底に含まれる要素数と素数 l の関係は何か？ また、これらの要素に含まれる異なる素因数の最大数は √l に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• (l,n) = (6,4) の場合、M_{6,4} = 85 および N_{6,4} = 119 を含むサイクルの奇数要素は (85, 119) であり、85 > 65 かつ 119 < 125 であるため、M_{l,n} がそのサイクル内で最小、N_{l,n} が最大の奇数要素であることが確認された。
• (l,n) = (11,7) の場合、M_{11,7} = 3767 および N_{11,7} = 6805 であり、c = -139 に対する商（3767/139 ≈ 27、6805/139 ≈ 49）は、c = -1 サイクルの最小および最大奇数要素の範囲内にある。
• l = 1999 の n−x 系列とモービウス関数の畳み込みにより得られる差の分布は、平均 0.5879、標準偏差 2.5812 であり、近似的に正規分布に従う。
• l = 2000 のゼータ関数の零点とモービウス関数の畳み込みにより得られる差の分布は、平均 2.7126、標準偏差 1.3419 であり、n−x 系列と同様の統計的挙動を示した。
• l < 10000 の素数 l に対して、パリティ・ベクトル系における基底要素数は R二乗 = 0.9997 の二次回帰に従い、高い予測能力を示した。
• 基底要素に含まれる異なる素因数の最大数は √l に対して線形にスケーリングされ、R二乗 = 0.9017 のフィットを得た。これは、パリティ・ベクトル系に体系的な算術的構造が存在することを示唆している。