[論文レビュー] Colored unavoidable patterns and balanceable graphs

Matt Bowen, Adriana Hansberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、辺に色が塗られた完全グラフにおけるターラン型問題を調査し、任意の r-辺彩色完全グラフが各色で Ω(n²⁻¹/trʳ) の辺をもつ場合、有限族 𝒟ₜʳ のメンバーを含むことを確立している。著者らは、各色で Ω(n²⁻¹/ᵗ) の辺で十分であると予想しており、r=3 の場合のタイトネスを証明し、r≥7 の場合、n²⁻ᵒ⁽¹⁾ の辺でさえも長さ 7k のバランス型パスを保証しないことを示している。

ABSTRACT

We study a Turán-type problem on edge-colored complete graphs. We show that for any $r$ and $t$, any sufficiently large $r$-edge-colored complete graph on $n$ vertices with $Ω(n^{2-1/tr^r})$ edges in each color contains a member from certain finite family $\mathcal{F}_t^r$ of $r$-edge-colored complete graphs. We conjecture that $Ω(n^{2-1/t})$ edges in each color are sufficient to find a member from ${\mathcal{F}}_t^r$. A result of Girão and Narayanan confirms this conjecture when $r=2$. Next, we study a related problem where the corresponding Turán threshold is linear. We call an edge-coloring of a path $P_{rk}$ balanced if each color appears $k$ times in the coloring. We show that any $3$-edge-coloring of a large complete graph with $kn+o(n)$ edges in each color contains a balanced $P_{3k}$. This is tight up to a constant factor of $2$. For more colors, the problem becomes surprisingly more delicate. Already for $r=7$, we show that even $n^{2-o(1)}$ edges from each color does not guarantee existence of a balanced $P_{7k}$.

研究の動機と目的

• r-辺彩色完全グラフにおいて、単色構造を強制するために必要な各色の辺の最小数を特定すること。
• 2色のラマヌジャン理論の結果を r 色設定に一般化し、特に彩色グラフにおける避けられないパターンに焦点を当てる。
• 各色が同様に頻出するバランス型パスが辺に色が塗られた完全グラフに存在するかを調査すること。
• すべての 𝒟ₜʳ のパターンにバランス型埋め込みを許容する「バランス型可能」と呼ばれるグラフを同定すること。
• 特に r≥3 の場合に、r 色設定におけるターラン閾値の既知の上界と下界のギャップを埋めること。

提案手法

• ターラン型の極値的枠組みを用いて、r-辺彩色完全グラフにおいて族 𝒟ₜʳ のメンバーを強制するために必要な各色の辺の最小数を評価する。
• ランダム構成を適用することで、ex(n, Kₜ,ₜ) に対する予想される下界を仮定すると、現在の上界が定数因子の範囲でタイトであることを示す。
• 各色が部分グラフ内で同様に現れる「バランス型埋め込み」の概念を導入し、関数 balᵣ(n, G) を定義する。これは、このような埋め込みを保証する最小の辺密度を表す。
• 頂点の部分集合を頂点とする補助的マルチグラフを構築し、辺の重複度を調整してオイラー回路を確保することで、バランス型パスの埋め込みを可能にする。
• 二部グラフの各部分における色の頻度の最小公倍数（lcm）を用いて、ベースパス長 k′₀ を定義し、構築されたパスにおける色のバランスを保証する。
• 𝒟ₜʳ に属するグラフの構造的解析を実施し、各グラフが t 個のサイズ t の部分に分割可能であり、単色クリークと二部グラフの辺を含み、かつすべての r 色が使用されることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r-辺彩色完全グラフにおいて、族 𝒟ₜʳ のメンバーを強制するために必要な各色の辺の最小数は何か？
• RQ2 予想されるように、ターラン境界の指数を 2−1/trʳ から 2−1/t に改善できるか？
• RQ3 r≥3 の場合、バランス型パス P_{rk} を保証する各色の辺密度の閾値は何か？
• RQ4 どのグラフ G がバランス型可能（すなわち、すべての 𝒟ₜʳ のパターンにバランス型埋め込みを許容する）か？
• RQ5 r≥3 のとき、balᵣ(n, G) = o(n²) はすべてのグラフ G に対して成り立つか、それとも balᵣ(n, G) = Θ(n²) となるようなグラフが存在するか？

主な発見

• 任意の r と t に対して、各色で Ω(n²⁻¹/trʳ) の辺をもつ r-辺彩色完全グラフは、有限族 𝒟ₜʳ のメンバーを含む。
• 著者らは、各色で Ω(n²⁻¹/ᵗ) の辺があれば 𝒟ₜʳ のメンバーを強制できると予想しており、これは定数因子の範囲でタイトである。
• r=3 の場合、各色で kn + o(n) の辺をもつ 3-辺彩色では、バランス型パス P_{3k} を含み、この境界は定数因子 2 の範囲でタイトである。
• r=7 の場合、n²⁻ᵒ⁽¹⁾ の辺でさえもバランス型パス P_{7k} を保証しないことが示され、色の数が増えると問題の複雑さが著しく増加することがわかった。
• 同定された特徴付け：balᵣ(n, G) = o(n²) であることは、G が 𝒟ₜʳ のすべてのパターンにバランス型埋め込みを許容するときにかつそのときに限り成り立つ。
• r=3 の場合、bal₃(n, C_{6k}) = o(n²) であることが示されたが、bal₃(n, C_{6k+3}) = Ω(n²) であることが示され、それが有限か無限かは未解決のまま残っている。