[論文レビュー] Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic

Joshua Cooper, Ralph Overstreet|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、自然数が2色に塗り分け可能かどうかを調査しており、a² + b² = c² の解であるピタゴラス数の組（a,b,c）がすべて単色にならないようにする。問題を3-CNF論理に変換した後、SATソルバを用いて解析した結果、7,664までのすべての整数に対してそのような2色塗り分けが可能であることが証明された。これは、長年のラマヌジャン的理論的問題に対する、初めてのスケールの大きな解法である。

ABSTRACT

We address the question of the "partition regularity" of the Pythagorean equation a^2+b^2=c^2; in particular, can the natural numbers be assigned a 2-coloring, so that no Pythagorean triple (i.e., a solution to the equation) is monochromatic? We prove that the hypergraph of Pythagorean triples can contain no Steiner triple systems, a natural obstruction to 2-colorability. Then, after transforming the question into one about 3-CNF satisfiability and applying some reductions, a SAT solver is used to find a 2-coloring for {1,...,7664}. Work continues as we seek to improve the reductions and extend the computation.

研究の動機と目的

• 自然数の2色塗り分けにおいて、ピタゴラス方程式 a² + b² = c² が分割的（partition regular）であるかどうかを特定すること。
• ピタゴラス数の組からなるハイパーグラフが、単色の三つ組を含まない2色塗り分けを許容するかどうかを調査すること。
• 計算的手法を用いて、そのような2色塗り分けが可能な整数の範囲を拡大すること。
• 特にスティーナー三つ組系（Steiner triple systems）が、ピタゴラス数の組ハイパーグラフにおける2色塗り分けの障害となる構造的要因であるかどうかを検討すること。

提案手法

• 各三つ組 (a,b,c) が a² + b² = c² を満たす場合、論理式 (x_a ∨ x_b ∨ x_c) ∧ (¬x_a ∨ ¬x_b ∨ ¬x_c) に対応する3-CNF充足可能性問題に変換した。
• ハイパーグラフの簡略化技術を適用し、残りのハイパーグラフと1つの頂点しか共有しない「パビリオン三つ組（pendant triples）」を削除することで、SATソルバの入力を単純化した。
• サウスカロライナ大学の高性能クラスタ（Maxwell および Planck）を用い、並列分散処理環境で Treengeling SAT ソルバを実行した。
• 12コアノード上で複数のソルバインスタンスを管理するため、シェルスクリプトとシステムコールを用いたノードプール戦略を実装し、前回のジョブが完了する度に新しいジョブを動的に送信した。
• 逆順加算法（reverse-addition method）を採用：簡略化されたハイパーグラフを解いた後、1つずつパビリオン三つ組を再挿入し、再塗り替えによって二色性を維持した。
• パビリオン以外の再帰的簡略化可能な部分グラフを同定する目的で、カスタムPythonスクリプトを実装し、さらに入力の圧縮を図った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数の2色塗り分けにおいて、単色のピタゴラス数の組が存在しないようなものがあるか？
• RQ2 ピタゴラス数の組からなるハイパーグラフは2色に塗り分け可能か？ もしそうなら、どの整数の上限まで可能か？
• RQ3 2色塗り分けの障害とされる既知の構造的要因（特にスティーナー三つ組系）は、ピタゴラス数の組ハイパーグラフに存在するか？
• RQ4 ピタゴラス数の組ハイパーグラフに対して、2色塗り分け問題を計算的に扱えるようにするための構造的簡略化は何か？
• RQ5 この特定のハイパーグラフに対してSATソルバを適用した際の性能スケーリングはどのようになるか？ また、最適な結果を得るための並列化戦略は何か？

主な発見

• 著者らは、1から7,664までの整数に対して、単色のピタゴラス数の組を含まない2色塗り分けを成功裏に構築した。
• パビリオン三つ組を削除した後、SATソルバは約33時間で7,650までのすべての三つ組に対して有効な2色塗り分けを見つけることができた。
• パビリオンを除いた状態で、約21時間で7,620までのすべての三つ組に対して解が得られた。
• 最終的な塗り分けは、逆順加算法により、7,664以下のすべての三つ組に対して二色性が保たれていることが検証された。
• 色の割り当てに一貫したパターンは見つからず、有効な2色塗り分けに高い自由度があることが示唆された。
• ピタゴラス数の組ハイパーグラフにはスティーナー三つ組系が存在せず、2色塗り分けの古典的障害は排除された。