[論文レビュー] Comb Diagrams for Discrete-Time Feedback

Mario Román|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2020

Logic, programming, and type systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称モノイダル圏におけるコイリントを用いて無限のコム図を形式化し、穴のある回路をモデル化することで、フィードバック、遅延、離散的力学系の統一的取り扱いを可能にする。フィードバックと遅延ファンクターをサポートする∞-コム圏を構成し、量子コム、レンズ、学習者を1つの圏的枠組みに統合し、力学系およびニューラルネットワークへの応用を実現する。

ABSTRACT

The data for many useful bidirectional constructions in applied category theory (optics, learners, games, quantum combs) can be expressed in terms of diagrams containing "holes" or "incomplete parts", sometimes known as comb diagrams. We give a possible formalization of what these circuits with incomplete parts represent in terms of symmetric monoidal categories, using the dinaturality equivalence relations arising from a coend. Our main idea is to extend this formal description to allow for infinite circuits with holes indexed by the natural numbers. We show how infinite combs over an arbitrary symmetric monoidal category form again a symmetric monoidal category where notions of delay and feedback can be considered. The constructions presented here are still preliminary work.

研究の動機と目的

• 穴のある回路としての無限コム図を、コイリントに基づく商を用いて、対称モノイダル圏における射として形式化すること。
• 自然数によってインデックス付けされた無限列への有限コム構成の拡張を、図式的計算の同値関係を保ちながら行うこと。
• 遅延およびフィードバック操作をサポートする、∞-コム図の対称モノイダル圏を定義すること。
• 量子コム、レンズ、学習者といった見た目は異なる構造を、共通の圏的枠組みで統一すること。

提案手法

• ヤヌイの補題に由来する双自然性関係を用いて、穴のある図の同値類をコイリントで正式に表現する。
• n-コムおよび∞-コムを、中間の記憶対象を持つ射の列におけるコイリント構成として定義する。
• 任意の対称モノイダル圏上で、コイリントによる商を用いて定義される∞-コム圏を構成する。
• 遅延ファンクターとフィードバック作用素を導入し、無限の場合におけるトレースに類似した操作を一般化する。
• フィボナッチ数列や確率的力学系といった例にこの枠組みを適用する。
• 既存のモデル（信号フローダイアグラム、オープンゲーム、学習者用Circ構成）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、コイリント計算を用いて、対称モノイダル圏における穴のある無限コム図を正式に定義できるか？
• RQ2 任意の対称モノイダル圏上で無限コムを構成したとき、どのような圏的構造が生じるか？
• RQ3 無限コム設定において、遅延およびフィードバック操作は、有限コムやトレースと比べてどのように一般化されるか？
• RQ4 ∞-コム構成は、量子コム、レンズ、学習者をどのように統一するか？
• RQ5 無限コムは信号フローダイアグラムの意味論を提供できるか、あるいは再帰的ニューラルネットワークをモデル化できるか？

主な発見

• 任意の対称モノイダル圏上の∞-コム図の圏は、自身が対称モノイダル圏であり、合成、遅延、フィードバックをサポートする。
• この構成は有限コムを一般化し、離散時間フィードバック系のための圏的枠組みを提供する。
• フィボナッチ数列は、∞-コム圏内での射として表現され、フィードバックが再帰的関係を符号化する。
• 有限分布モナドを用いることで、確率的力学系が自然に扱える。
• ∞-コム構成は信号フローダイアグラムと構造的類似性を示し、それらの圏的意味論を提供する可能性を有する。
• このアプローチは、オープンゲームと2-コム構造との間に潜在的な関係を示唆しており、特に2段階の利得プロセスのモデル化において有効である。