[論文レビュー] Combinatorial Identities Involving the Mobius Function

Mohamed El Bachraoui, Mohamed Salim|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、区間およびその和集合におけるφ関数を用いて、モービウス関数を含む新しい組合せ的恒等式を導出する。与えられた整数と互いに素である和集合の区間の空でない部分集合の数に対する正確な公式を確立し、床関数とGCD条件を含むモービウス変換された和の新しい評価を導く。主な結果として、これらの和が法に関する整数の相対的素数性と関連づけられる。

ABSTRACT

In this paper we derive some identities and inequalities on the Möbius mu function. Our main tool is phi functions for intervals of positive integers and their unions.

研究の動機と目的

• φ関数を主な道具として用いて、モービウス関数を含む新しい組合せ的恒等式を導出すること。
• 区間における相対的素数部分集合の数に関する既存の公式を、互いに素な区間の和集合へと拡張すること。
• 床関数とGCD条件を含むモービウス変換された和の正確な評価を確立すること。
• 算術関数におけるモービウス逆転を複数変数へ一般化すること。
• 和集合の区間における法nと相対的素数であるk要素部分集合の数の明示的公式を提供すること。

提案手法

• Aの空でない部分集合およびk要素部分集合のうち、nと互いに素であるものの数として、φ関数Φ(A,n)およびΦk(A,n)を定義する。
• 区間の和集合[l₁,m₁] ∪ [l₂,m₂]に対してモービウス逆転を適用し、nの約数dに関する和を含む閉形式の式を導出する。
• ∑_{d|n} μ(d) f(⌊m/d⌋) の恒等式を用いて、数え上げ問題をモービウス重み付き和に変換する。
• モービウス関数の性質を活用し、包含除算法則を応用してGCDが1である部分集合を数える。
• 重複する区間からの寄与を分離するために、再帰的分解と二重和の入れ替えを用いる。
• 数学的帰納法と組合せ的双対写像の議論を用いて結果を証明し、GCD制約下で部分集合をスケーリングされた対応に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nと互いに素である[l₁,m₁] ∪ [l₂,m₂]の空でない部分集合の正確な数は何か？
• RQ2 相対的素数性の文脈において、床関数の差を含む和を評価するためにモービウス関数はどのように用いられるか？
• RQ3 gcd(m,n) = 1 または >1 のとき、∑_{d|n} μ(d) 2^{⌊m/d⌋ - ⌊(m-1)/d⌋} の値は何か？
• RQ4 区間部分集合の文脈において、モービウス逆転の公式は複数変数算術関数へどのように拡張されるか？
• RQ5 nと互いに素である2つの区間の和集合におけるk要素部分集合の数は何か？

主な発見

• nと互いに素である[l₁,m₁] ∪ [l₂,m₂]の空でない部分集合の数は、∑_{d|n} μ(d) 2^{⌊m₁/d⌋ + ⌊m₂/d⌋ - ⌊(l₁-1)/d⌋ - ⌊(l₂-1)/d⌋} に等しい。
• nと互いに素である[l₁,m₁] ∪ [l₂,m₂]のk要素部分集合の数は、∑_{d|n} μ(d) ⎛⌊m₁/d⌋ + ⌊m₂/d⌋ - ⌊(l₁-1)/d⌋ - ⌊(l₂-1)/d⌋⎞ / k に等しい。
• m > 1 のとき、∑_{d|n} μ(d) 2^{⌊m/d⌋ - ⌊(m-1)/d⌋} = 1 である。ただし、gcd(m,n) = 1 の場合に限る。それ以外の場合は0である。
• m > 1 のとき、∑_{d|n} μ(d) 2^{⌊(m+1)/d⌋ - ⌊(m-1)/d⌋} = 3 である。ただし、gcd(m,n) = gcd(m+1,n) = 1 の場合。1つだけが1のとき2、それ以外の場合は1である。
• ∑_{d|n} μ(d) (⌊(m+1)/d⌋ - ⌊(m-1)/d⌋) は、mとm+1の両方がnと互いに素のとき2、ちょうど1つだけが互いに素のとき1、どちらもでないときは0に等しい。
• ∑_{d|n} μ(d) ⎛⌊(m+1)/d⌋ - ⌊(m-1)/d⌋ + 1⎞ / 2 は、mとm+1の両方がnと互いに素のとき3、ちょうど1つだけが互いに素のとき2、どちらもでないときは1に等しい。