[論文レビュー] Combinatorial theory of permutation-invariant random matrices I: partitions, geometry and renormalization

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、置換不変なランダム行列のための統一的な枠組みを提供する、集合分割における新しい距離に基づく順序を導入する。これはブルハート順序を一般化し、分割上の線形形式にホップ代数構造を確立し、新しい畳み込みおよびクレヴァラスに類似した補完を定義する。これらの構造を用いて、ランダム行列集合のモーメント収束および高次フラクチュエーションを特徴づける。

ABSTRACT

In this article, we define and study a geometry and an order on the set of partitions of an even number of objects. One of the definitions involves the partition algebra, a structure of algebra on the set of such partitions depending on an integer parameter N. Then we emulate the theory of random matrices in a combinatorial framework: for any parameter N, we introduce a family of linear forms on the partition algebras which allows us to define a notion of weak convergence similar to the convergence in moments in random matrices theory. A renormalization of the partition algebras allows us to consider the weak convergence as a simple convergence in a fixed space. This leads us to the definition of a deformed partition algebra for any integer parameter N and to the definition of two transforms: the cumulants transform and the exclusive moments transform. Using an improved triangular inequality for the distance defined on partitions, we prove that the deformed partition algebras, endowed with a deformation of the linear forms converge as N go to infinity. This result allows us to prove combinatorial properties about geodesics and a convergence theorem for semi-groups of functions on partitions. At the end we study a sub-algebra of functions on infinite partitions with finite support : a new addition operation and a notion of R-transform are defined. We introduce the set of multiplicative functions which becomes a Lie group for the new addition and multiplication operations. For each of them, the Lie algebra is studied. The appropriate tools are developed in order to understand the algebraic fluctuations of the moments and cumulants for converging sequences. This allows us to extend all the results we got for the zero order of fluctuations to any order.

研究の動機と目的

• 置換不変なランダム行列のための幾何的・組合せ的枠組みを、集合分割における新しい距離を用いて構築すること。
• クレヴァラス補完およびブルハート順序を、2k要素集合上のより広いクラスの分割へ一般化すること。
• 分割上の線形形式に、ホップ代数、畳み込み、双代数といった代数的構造を構築すること。
• 新しい組合せ的道具を用いて、ランダム行列系列のモーメントの収束およびフラクチュエーションを特徴づけること。
• 非 i.i.d. ランダム行列設定における一般化された自由性およびトレース的代数の基礎を築くこと。

提案手法

• 距離関数を $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ で定義し、任意の固定分割 $ b $ に対して測地的順序 $ \leq_b $ を誘導する。
• $ \leq_b $ を単純な順序への分解により特徴づけ、ハッセ図を記述し、モビウス関数を計算する。
• 距離および順序構造を集合 $ \mathcal{P}_k = \mathcal{P}(\{1,\dots,k,1',\dots,k'\}) $ に適用し、$ (\mathsf{P}_k, \trianglelefteq) $ および $ (\mathsf{NC}_k, \trianglelefteq) $ が $ (\mathcal{P}_k, \leq) $ に埋め込まれることを示す。
• クレヴァラス補完を $ \mathcal{P}_k $ に一般化し、因子分解性を証明し、欠損関数 $ \text{df}(p,p') $ と関係づける。
• $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ に二つの畳み込み $ \boxplus $, $ \boxtimes $ を導入し、特徴関数および無限小特徴関数と整合する三角変換を定義する。
• 観測量の系列 $ (E_t^N) $ を用いて高次フラクチュエーションを定義し、新しい畳み込み構造を用いて、中心モーメントおよび累積量の微分方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割における幾何的距離を用いて、ブルハート順序を一般化する自然な順序を定義する方法は何か？
• RQ2 クレヴァラス補完は、非交差分割に限らず、2k要素集合上の全分割へ拡張可能か？
• RQ3 これらの順序付き分割の組合せ論的性質から、自然に生じる代数的構造（ホップ代数、双代数など）は何か？
• RQ4 新しい畳み込みおよび射影は、ランダム行列理論におけるモーメントおよび累積量の母関数とどのように関係するか？
• RQ5 これらの構造は、置換不変なランダム行列系列の収束およびフラクチュエーションをどのように特徴づけるか？

主な発見

• 距離関数 $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ は、分割の集合上で有効な距離関数であり、測地的順序 $ \leq_b $ を定義する。
• $ \mathcal{P}_k $ 上の順序 $ \leq $ は、古典的分割ラティス $ \mathsf{P}_k $ および非交差分割ラティス $ \mathsf{NC}_k $ を両方とも埋め込むことができ、より細かい順序 $ \trianglelefteq $ を一般化する。
• $ \mathcal{P}_k $ 上に一般化されたクレヴァラス補完が定義され、因子分解性を満たし、$ \mathsf{NC}_k $ からの古典的定義を拡張する。
• $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ は、二つの畳み込み $ \boxplus $ および $ \boxtimes $ を通じて、特徴関数および無限小特徴関数と整合する、階数付き連結ホップ代数構造を備える。
• ランダム行列系列の高次フラクチュエーションは、微分方程式 (54)–(56) に従い、新しい畳み込み操作を通じて累積量とモーメントが結びつけられる。
• 半群 $ (E_t^N) $ の $ n $ 次までのフラクチュエーションの収束は、初期データおよびドリフトの収束によって特徴づけられ、モーメントおよび累積量の明示的な時間発展方程式が得られる。