[論文レビュー] Combinatorics of $λ$-terms: a natural approach

Maciej Bendkowski, Katarzyna Grygiel+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1進のde Bruijn添字を用いた自然な組合せ的モデルを$ olimits\lambda$-項に導入し、各コンストラクタ（抽象化、適用、ゼロ、後続）がサイズに1ずつ寄与する。このモデルにおいて、純粋な$ olimits\lambda$-項、中立的形、ジグザグを含まないまたは黒白の二分木が同数であることを、構成的双対写像を用いて証明し、漸近的にほとんどすべての$ olimits\lambda$-項が任意の固定された部分項を含むことを示しており、これは強正規化可能で型付け可能な項が密度的に無視できることを意味する。

ABSTRACT

We consider combinatorial aspects of $λ$-terms in the model based on de Bruijn indices where each building constructor is of size one. Surprisingly, the counting sequence for $λ$-terms corresponds also to two families of binary trees, namely black-white trees and zigzag-free ones. We provide a constructive proof of this fact by exhibiting appropriate bijections. Moreover, we identify the sequence of Motzkin numbers with the counting sequence for neutral $λ$-terms, giving a bijection which, in consequence, results in an exact-size sampler for the latter based on the exact-size sampler for Motzkin trees of Bodini et alli. Using the powerful theory of analytic combinatorics, we state several results concerning the asymptotic growth rate of $λ$-terms in neutral, normal, and head normal forms. Finally, we investigate the asymptotic density of $λ$-terms containing arbitrary fixed subterms showing that, inter alia, strongly normalising or typeable terms are asymptotically negligible in the set of all $λ$-terms.

研究の動機と目的

• 1進のde Bruijn添字を用いた自然なサイズモデルを$\lambda$-項に開発し、各句法的コンストラクタがサイズに1ずつ寄与するようにする。
• 黒白の木やジグザグを含まない二分木といった組合せ的構造と$\lambda$-項との間で、構成的双対写像を確立する。
• $\lambda$-項の主要クラス（中立的、正規形、ヘッド正規形、強正規化可能、型付け可能）の、全$\lambda$-項集合内での漸近的密度を分析する。
• このモデルにおいて、強正規化可能で型付け可能な$\lambda$-項が漸近的に無視できる（密度が0）ことを示し、変数のサイズを無視するか異なる方法で扱うモデルとは対照的である。

提案手法

• 各コンストラクタ（抽象化、適用、ゼロ、後続）がサイズに1ずつ寄与するように、$\lambda$-項の組合せ的クラスを定義し、サイズをコンストラクタ数として測定する。
• 再帰的分解を用いて、純粋な$\lambda$-項の数え上げ列のためのホロノミックな生成関数方程式を導出する。
• $\lambda$-項と黒白二分木、$\lambda$-項とジグザグを含まない二分木との間で、サイズを保つ明示的双対写像を構成する。
• 中立的$\lambda$-項とモーツキン木との間の双対写像を確立し、これによりモーツキン木の正確なサイズサンプラーを用いて中立的$\lambda$-項を任意の指定サイズで生成できるようにする。
• 解析的組合せ論を用いて生成関数の主要特異点を分析し、さまざまな$\lambda$-項クラスの漸近的成長率を導出する。
• 任意の固定部分項$M$を含む$\lambda$-項の生成関数の収束半径が、全$\lambda$-項生成関数の収束半径よりも厳密に大きいことを証明し、これによりその密度が1であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1進のde Bruijn添字に基づく自然なサイズモデル下での$\lambda$-項の組合せ的構造は何か？
• RQ2 黒白の木やジグザグを含まない二分木といったよく知られた組合せ的クラスと$\lambda$-項との間で、明示的な双対写像は存在するか？
• RQ3 このモデル下で、中立的、正規形、ヘッド正規形、強正規化可能な$\lambda$-項の集合の、全$\lambda$-項集合内での漸近的密度は何か？
• RQ4 固定部分項$M$を含む$\lambda$-項の漸近的密度はどのように振る舞い、非正規化可能または非型付け可能な項の頻度に何を示唆するか？
• RQ5 この自然なサイズモデルにおける$\lambda$-項の漸近的性質は、変数のサイズを無視するか、異なる方法で扱うモデルと比べてどう異なるか？

主な発見

• 1進de Bruijnモデルにおける$\lambda$-項の数え上げ列は、黒白二分木およびジグザグを含まない二分木のそれと一致し、サイズを保つ明示的双対写像が確立された。
• 中立的$\lambda$-項はモーツキン木と双対的であるため、モーツキン木の正確なサイズサンプラーを用いて任意の指定サイズの$\lambda$-項を生成できる。
• 任意の固定部分項$M$を含む$\lambda$-項の生成関数の収束半径は、全$\lambda$-項生成関数の収束半径よりも厳密に大きい。これにより、そのような$\lambda$-項は漸近的密度1を有する。
• 強正規化可能な$\lambda$-項、正規形、型付け可能な項は、このモデル下で全$\lambda$-項集合内での漸近的密度0を有する。
• 中立的、正規形、ヘッド正規形の$\lambda$-項の漸近的成長率は、解析的組合せ論を用いて決定され、特異点解析から明示的な定数が導出された。
• このモデルは、強正規化可能な項が正の密度を有するという以前の結果と矛盾する。自然なサイズモデルでは変数添字の距離にペナルティが課され、遠く離れた束縛が不自然になるためである。