[論文レビュー] Combinatorics of the tropical Torelli map

Melody Chan|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、tropical Torelli写像を研究するための洗練されたフレームワークを導入し、主極性 tropical アーベル多様体のモジュライ空間 $A^{\text{tr}}_g$ がハウスドルフであることを証明するとともに、マトロイド組合せ論を用いて $A^{\text{tr}}_2$ および $A^{\text{tr}}_3$ の有限指数被覆を構成する。主たる貢献は、Fanoマトロイドと $GL_3(\mathbb{Z})$-可換な錐の貼り合わせによって実現される、射影平面のファンモデルから $A^{\text{tr}}_3$ への全射的準同型の構成である。

ABSTRACT

This paper is a combinatorial and computational study of the moduli space of tropical curves of genus g, the moduli space of principally polarized tropical abelian varieties, and the tropical Torelli map. These objects were introduced recently by Brannetti, Melo, and Viviani. Here, we give a new definition of the category of stacky fans, of which the aforementioned moduli spaces are objects and the Torelli map is a morphism. We compute the poset of cells of tropical M_g and of the tropical Schottky locus for genus at most 5. We show that tropical A_g is Hausdorff, and we also construct a finite-index cover for A_3 which satisfies a tropical-type balancing condition. Many different combinatorial objects, including regular matroids, positive semidefinite forms, and metric graphs, play a role.

研究の動機と目的

• 先行研究で用いられたスタック的ファンの定義に生じる基礎的不整合を解消すること、特に $M^{\text{tr}}_g$ および $A^{\text{tr}}_g$ が正当なスタック的ファンでないことを排除する要因を特定すること。
• tropical曲線および主極性 tropical アーベル多様体のモジュライ空間を含める修正されたより一般的なスタック的ファンの定義を提供すること。
• $g \leq 5$ における $M^{\text{tr}}_g$ の細胞のposetおよびtropical Schottky多様体を計算し、明示的な組合せ論的データを提供すること。
• $A^{\text{tr}}_g$ がハウスドルフであることを確立し、初期の定式化における位相的見落としを是正すること。
• $g=2$ および $g=3$ における $A^{\text{tr}}_g$ の有限指数被覆を、tropicalバランス条件を満たす形でマトロイド理論およびレベル構造を用いて構成すること。

提案手法

• 先行制限を解消し、$M^{\text{tr}}_g$ および $A^{\text{tr}}_g$ が自然な対象としてカテゴリに含まれるよう、スタック的ファンの再定義を導入すること。
• Voronoi分解理論を用いて、$GL_g(\mathbb{Z})$ による錐複体の商として $A^{\text{tr}}_g$ を定義し、tropical幾何学と整合性を持つようにすること。
• $GL_3(\mathbb{Z})$-可換な写像による $MK_4$ マトロイドの錐の7つのコピーの貼り合わせによって、$\alpha: \mathbb{FP}^6 \to A^{\text{tr}}_3$ という準同型を構成すること。
• Fanoマトロイド $F_7$ 及びその1要素削除が $MK_4$ に同型であることを活用し、重複する細胞間で一貫した貼り合わせを保証すること。
• $U^2_4$ マトロイドおよびその $U^2_3$ に同型な削除を用いて、$\beta: \mathbb{FP}^3 \to A^{\text{tr}}_2$ という類似の準同型を定義し、完全な自己同型対称性を確保すること。
• $A^{\text{tr}}_3$ と $A^{\text{tr}}_2$ の被覆写像を、$p=3$（$g=2$）および $p=2$（$g=3$）におけるレベル構造を介して確立し、二次的錐分解における $\pm$ 同値類による線の特定を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 より一般的かつ一貫性のあるスタック的ファンの定義を、$M^{\text{tr}}_g$ および $A^{\text{tr}}_g$ を含む形で定式化できるか？
• RQ2 $A^{\text{tr}}_g$ はハウスドルフ空間か？ その位相はVoronoi分解とどのように関係するか？
• RQ3 $A^{\text{tr}}_g$ の有限指数被覆を、特に $g=2$ および $g=3$ において、tropicalバランス条件を満たす形で構成できるか？
• RQ4 Fanoマトロイドや $MK_4$ といったマトロイド理論的構造は、$A^{\text{tr}}_g$ への全射的準同型の構成にどのように寄与するか？
• RQ5 $g \leq 5$ におけるtropical Schottky多様体の組合せ論的構造は何か？ また、$M^{\text{tr}}_g$ および $A^{\text{tr}}_g$ の細胞構造と比較するとどうなるか？

主な発見

• $A^{\text{tr}}_g$ がハウスドルフであることが証明され、初期の定式化における位相的見落としを是正した。
• $A^{\text{tr}}_3$ の有限指数被覆 $\mathbb{FP}^6$ がFanoマトロイドを用いて構成され、$\mathbb{FP}^6$ の各最大細胞が $A^{\text{tr}}_3$ の唯一の最大細胞に全射的にマッピングされる。
• $\alpha: \mathbb{FP}^6 \to A^{\text{tr}}_3$ は、$GL_3(\mathbb{Z})$-可換な写像による $MK_4$ マトロイドの錐の7つのコピーの貼り合わせによって構成されたスタック的ファンの全射的準同型である。
• $g=2$ では、$U^2_4$ マトロイドを用いて $A^{\text{tr}}_2$ の有限指数被覆 $\mathbb{FP}^3$ が構成され、その4つの最大細胞の各々が $A^{\text{tr}}_2$ の最大細胞に全射的にマッピングされる。
• これらの被覆の構成は、$p=3$（$g=2$）および $p=2$（$g=3$）におけるレベル構造から生じており、二次的錐分解における $\pm$ 同値類による線の特定によって実現される。
• $g \leq 5$ における $M^{\text{tr}}_g$ の細胞のposetおよびtropical Schottky多様体が明示的に計算され、$M^{\text{tr}}_g$、Schottky多様体、$A^{\text{tr}}_g$ の間で細胞数を比較する表が提示された。