[論文レビュー] Combining the Runge approximation and the Whitney embedding theorem in hybrid imaging

Giovanni S. Alberti, Yves Capdeboscq|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 74被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次元 $ d \geq 2 $ の2階楕円型偏微分方程式に対して、任意のコンパクト集合上でヤコビアンが最大ランク（非ゼロ）となる解をもたらす $ 2d $ 個の境界条件の集合が、$ H^{1/2} $ 位相において開かつ稠密であることを確立する。この手法は、一意的拡張性が成り立つ条件下でのランゲ近似性質と、ホイットニー射影による議論を組み合わせ、このような解を構成的に構築する。このことは、フォトフォノン的・サーモアコースティック的トモグラフィーなどのハイブリッド画像法において、頑健な非ゼロ制約を実現するために不可欠である。

ABSTRACT

This paper addresses enforcing non-vanishing constraints for solutions to a second order elliptic partial differential equation by appropriate choices of boundary conditions. We show that, in dimension $d\\geq2$, under suitable regularity assumptions, the family of $2d$ solutions such that their Jacobian has maximal rank in the domain is both open and dense. The case of less regular coefficients is also addressed, together with other constraints, which are relevant for applications to recent hybrid imaging modalities. Our approach is based on the combination of the Runge approximation property and the Whitney projection argument [Greene and Wu, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 25(1, vii):215-235, 1975]. The method is very general, and can be used in other settings.

研究の動機と目的

• ハイブリッド画像法における2階楕円型偏微分方程式の解に対して、ヤコビアンが非ゼロとなる制約を強制する課題に取り組む。
• 未知係数に依存しない境界条件によって、ヤコビアンが最大ランクとなる解が達成可能であることを示す。
• このような境界条件が、$ 2d $ 解についての $ H^{1/2} $ 位相において開かつ稠密な集合をなすことを確立する。
• ヤコビアン制約を超えて、連成物理逆問題において関連するより一般的な局所ランク条件へとこの手法を拡張する。
• 最小限の正則性仮定のもとで、広範な楕円型作用素に適用可能な構成的で一般的な枠組みを提供する。

提案手法

• 一意的拡張性が成り立つ条件下で有効なランゲ近似性質を用いて、所望の局所的挙動を示す解を構築する。
• ホイットニー射影の議論を適用し、コンパクト集合上でランク条件を保ちつつ、必要な境界条件の数を削減する。
• $ C^{0,α} $ マップの $ k $ 重組がフルランクである集合が $ C^{0,α} $ において開かつ稠密であるという事実を、横断性およびサード型の議論を用いて活用する。
• 小さな係数を用いた解の線形結合による摂動戦略を用い、コンパクト集合上でほとんど everywhere にフルランクが保証されるようにする。
• 勾配写像 $ \zeta(u_i) $ における有限次元のランク条件に問題を還元し、パrameter空間における測度論的議論により解析する。
• 結果を $ 2d $ 個の境界条件のケースに適用し、それに対応する解族が $ H^{1/2}(∂\Omega)^{2d} $ において開かつ稠密であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知係数が存在する場合でも、2階楕円型偏微分方程式の解に対して、境界条件によってヤコビアンが非ゼロとなる制約を強制できるか。
• RQ2 最大ランクヤコビアン解をもたらす境界条件の集合が、$ H^{1/2} $ 位相において開かつ稠密か。
• RQ3 幾何学的および近似技法を用いて、必要な境界条件の数を上限付きで最小化できるか。
• RQ4 ランゲ近似とホイットニー射影の組み合わせが、このような制約を達成する構成的メソッドをもたらすか。
• RQ5 この枠組みは、ヤコビアン条件を超えたより一般的な局所ランク制約へと拡張可能か。

主な発見

• $ d \geq 2 $ に対して、任意のコンパクト集合 $ K \subset \Omega $ においてヤコビアンが最大ランクとなる解をもたらす、$ H^{1/2}(∂\Omega)^{2d} $ 内の $ 2d $-重境界条件の集合は、開かつ稠密である。
• この手法により、最小限の正則性条件を満たす任意の一様楕円型作用素 $ L $ に対して、このような解が存在することが保証される。これには $ \ell = 0 $（つまり $ L^\infty $ 係数）のケースも含まれる。
• 必要な境界条件の数は $ 2d $ で上限付きであり、境界データの小さな摂動に対してもこの構成は頑健である。
• ヤコビアン条件に限らず、一般の制約 $ \operatorname{rank}(\nabla u_1, \dots, \nabla u_N) = d $ に対してもこのアプローチが適用可能である。
• 係数が $ L^\infty $ 個に限られる場合でも結果が成り立つため、正則性が制限される実世界のハイブリッド画像法問題への応用範囲が拡張される。
• 証明はホイットニー射影による横断性の議論に依拠し、有限次元の摂動における係数のほとんどすべての選択に対して、コンパクト集合上でほとんど everywhere にランク条件が満たされることを示している。