[論文レビュー] Cometric Association Schemes

Brian G. Kodalen|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 83被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、等角線や相互に unbiased 基底（MUB）といった幾何的対象との関係を含め、共代数的関係体系の構造、実現可能性条件に焦点を当て、3-および4-クラスの共代数的関係体系の新しい実現可能性条件を確立し、連結単体と実数の相互に unbiased 基底（MUB）を用いて3-クラス $Q$-反対称体系の新しい例を構成し、3-クラス $Q$-反対称体系と特定の $t$-距離集合との間の同値性を証明する。

ABSTRACT

One may think of a $d$-class association scheme as a $(d+1)$-dimensional matrix algebra over $\mathbb{R}$ closed under Schur products. In this context, an imprimitive scheme is one which admits a subalgebra of block matrices, also closed under the Schur product. Such systems of imprimitivity provide us with quotient schemes, smaller association schemes which are often easier to understand, providing useful information about the structure of the larger scheme. For any association scheme we find a basis of $d+1$ idempotent matrices for the algebra. A cometric scheme is one whose idempotent basis may be ordered $E_0,E_1,...,E_d$ with polynomials $f_0,f_1,...,f_d$ giving $f_i\circ(E_1)=E_i$ and deg$(f_i)=i$ for each $i$. Throughout this thesis we are primarily interested in three goals: building new examples of cometric schemes, drawing connections between cometric schemes and other objects, and finding new realizability conditions on feasible parameter sets --- using these conditions to rule out open parameter sets when possible. After introducing association schemes, this thesis focuses on a few recent results regarding cometric schemes with small $d$. We begin by examining the matrix algebra, looking for low rank positive semidefinite matrices with few distinct entries and later establishing new conditions on realizable parameter sets. We then focus on imprimitive examples of both 3- and 4-class cometric schemes, generating new examples of the former while building realizability conditions for both. In each case, we examine the related $t$-distance sets, giving conditions which work towards equivalence; in the case of 3-class $Q$-antipodal schemes an equivalence is established. We conclude by partially extending a result of Brouwer and Koolen concerning the connectivity of graphs arising from metric schemes.

研究の動機と目的

• 共代数的関係体系、特に3-クラス $Q$-反対称体系の新しい例を構成すること。
• 共代数的関係体系と等角線や実数の相互に unbiased 基底（MUB）などの幾何的対象との間の関係を確立すること。
• 共代数的関係体系の妥当なパラメータ集合、特に非原始的ケースのための新しい実現可能性条件を導出すること。
• BrouwerとKoolenによる研究を一般化し、メトリック関係体系における基底関係の接続性に関する結果を拡張すること。
• 特に3-クラス $Q$-反対称ケースにおいて、$t$-距離集合を共代数的関係体系の観点から分類・分析すること。

提案手法

• 各次数 $i$ に対して $f_i(E_1) = E_i$ を満たす多項式写像を用いた、共代数的体系の Bose-Mesner代数の射影的基底を分析する。
• 正定値行列に少ない種類の異なる成分を持つ場合の Schönberg の定理を適用し、妥当性制約を導出する。
• Gegenbauer多項式と内積構造を用いて $t$-距離集合およびその幾何的実現をモデル化する。
• 同種の連結対称設計系（LSSD）と実数のMUBを用いて3-クラス $Q$-反対称体系を構成する。
• スぺクトルグラフ理論と写像 $\varphi_a$ を用いたグラフ準同型を適用し、メトリック体系における基底関係の接続性を研究する。
• パラメータ解析と数論的議論（例えば $q^{3m-2}$ と $q^m \mp 1$ の相対的素性）を用いて、特定のパラメータ族の整数性を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-および4-クラスの共代数的関係体系の妥当なパラメータ集合のうち、実際に実現可能なものはどれか？
• RQ2 3-クラス $Q$-反対称共代数的関係体系と、等角線のような特定の $t$-距離集合との正確な関係は何か？
• RQ3 実数の相互に unbiased 基底や連結単体から、3-クラス $Q$-反対称体系の新しい例を構成できるか？
• RQ4 既知のLSSDパラメータ族において、$\nu$ の整数性の必要十分条件は何か？
• RQ5 メトリック関係体系における基底関係の接続性は、体系の構造およびその商の構造とどのように関係するか？

主な発見

• すべての $m$ に対して整数性条件を満たすのは、LSSDパラメータ族の6、7、9、13、14番目のみである。族12および15–19は $m=1$ のみで妥当である。
• $m=1$ の場合、族16–19のパラメータ集合は $\mu$-または $\nu$-重み付きパラメータで妥当であるが、$m>1$ では $q^{3m-2}$ と $q^m \mp 1$ の相対的素性のため整数性に失敗する。
• 族20は整数性に失敗する。$n = 2^{2dm-d-1}(2^d-1)$ が平方数でない限り不可能であり、$d \geq 2$ のとき $2^d-1$ が平方数であることは不可能である。
• 族21は整数性に失敗する。$\nu = \frac{(2t-1)^{3m+1}(q-1)}{4((2t-1)^{m+1} \mp 1)}$ は分母の大きさと分子との互いに素であることから、常に整数でない。
• 3-クラス $Q$-反対称共代数的関係体系と特定の $t$-距離集合との間の同値性が確立された。特に連結単体のケースにおいて成立する。
• 本研究は、BrouwerとKoolenによる接続性に関する結果を拡張し、スペクトル的および構造的条件下で、メトリック体系における基底関係が接続性を保つことを示した。