[論文レビュー] Commensurability of groups quasi-isometric to RAAG's

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、右側アーティン群（RAAG）に準等長な群がそれと共役である条件を確立する。具体的には、RAAGの外部自己同型群が有限であり、定義グラフに誘導された4サイクルがなく、スターライド性を満たす場合、任意の有限生成群がそれと準等長であるならば、共役であることを証明する。この結果は鋭いものであり、誘導された4サイクルの存在により、共役でないが準等長な群が存在しうるためである。

ABSTRACT

Let $G$ be a right-angled Artin group with defining graph $Γ$ and let $H$ be a finitely generated group quasi-isometric to $G(Γ)$. We show if $G$ satisfies (1) its outer automorphism group is finite; (2) $Γ$ does not have induced 4-cycle; (3) $Γ$ is star-rigid; then $H$ is commensurable to $G$. We show condition (2) is sharp in the sense that if $Γ$ contains an induced 4-cycle, then there exists an $H$ quasi-isometric to $G(Γ)$ but not commensurable to $G(Γ)$. Moreover, one can drop condition (1) if $H$ is a uniform lattice acting on the universal cover of the Salvetti complex of $G(Γ)$. As a consequence, we obtain a conjugation theorem for such uniform lattices. The ingredients of the proof include a blow-up building construction in \cite{cubulation} and a Haglund-Wise style combination theorem for certain class of special cube complexes. However, in most of our cases, relative hyperbolicity is absent, so we need new ingredients for the combination theorem.

研究の動機と目的

• 右側アーティン群（RAAG）に準等長な群がそれと共役である条件を特定すること。
• RAAGの定義グラフに内在する幾何的・組合せ的条件を同定し、共役性剛性を保証すること。
• 誘導された4サイクルの不在が鋭い条件であることを示すこと。その存在により、共役でないが準等長な群が存在しうるため。
• このようなRAAGのサルベッティ複体の普遍被覆上に作用する均一格子についての共転定理を確立すること。
• 相対的双曲性が成り立たない非双曲的設定へ、特別な立方複体に関する組み合わせ定理を拡張すること。

提案手法

• 前回の研究で得られたブロー・アップ・ビルディング構成を用いて、RAAGに準等長な群の幾何をモデル化する。
• Haglund-Wise風の特別な立方複体に関する組み合わせ定理を、相対的双曲性が成り立たない設定に適応する。
• サルベッティ複体の普遍被覆に基づく幾何的モデルを用い、CAT(0)立方複体上の群作用を分析する。
• 自明なホロノミーを持つ分岐複体におけるリトラクション像を制御するための制御機構を導入する。
• 自明なホロノミーを持つ分岐複体の有限被覆を構成し、有限指数部分群を実現し、共役性を分析する。
• 特別な立方複体の理論を活用し、RAAGにおける有限指数部分群の性質と埋め込み特性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義グラフΓに対して、どのような条件下でRAAG G(Γ)が、任意の有限生成群がそれと準等長であるならば共役である、という意味で準等長的剛性を示すか。
• RQ2 定義グラフΓに誘導された4サイクルが含まれる場合、共役性剛性はどのように変化するか。
• RQ3 群HがX(Γ)の自動同型群の均一格子である場合、有限外部自己同型群条件を緩和できるか。
• RQ4 相対的双曲性が成り立たない非双曲的設定へ、特別な立方複体に関する組み合わせ定理をどのように拡張できるか。
• RQ5 分岐複体のホロノミーと、それら上に作用する群の共役性の関係は何か。

主な発見

• RAAG G(Γ)のOut(G(Γ))が有限であり、Γに誘導された4サイクルがなく、Γがスターライド性を満たすならば、任意の有限生成群HがG(Γ)に準等長であるならば、HはG(Γ)と共役である。
• 誘導された4サイクルの不在は鋭い条件である。Γに誘導された4サイクルが含まれる場合、G(Γ)に準等長だが共役でない群Hが存在する。
• HがG(Γ)のサルベッティ複体の普遍被覆上に作用する均一格子である場合、有限外部自己同型群条件は不要となる。
• 与えられた条件下で、このような均一格子についての共転定理が確立され、それらがAut(X(Γ))内で共転する。
• 相対的双曲性が成り立たない設定における組み合わせ定理の新規技術が証明に導入され、特別な立方複体理論の既存結果が拡張された。
• 自明なホロノミーを持つ分岐複体の有限被覆の構成により、リトラクション像の制御が可能となり、共役性結果の裏付けが得られた。