[論文レビュー] Comment on 'Application of nonlinear deformation algebra to a physical system with Poschl-Teller potential'

C. Quesne|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Pöschl-Tellerポテンシャルに適用された非線形変形代数における重要な定義関係を是正し、以前に提唱された関係が無限井戸型ポテンシャル極限（ν → 1）でのみ有効であることを示している。著者らは一般の場合の正しい形を導出し、su(1,1)との一貫した関係を確立し、それらを用いて固有関数の正規化定数を代数的に計算することで、Chen, Liu, and Geによる元の定式化における不整合を解消した。

ABSTRACT

We comment on a recent paper by Chen, Liu, and Ge (J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 6473), wherein a nonlinear deformation of su(1,1) involving two deforming functions is realized in the exactly solvable quantummechanical problem with Poschl-Teller potential, and is used to derive the well-known su(1,1) spectrum-generating algebra of this problem. We show that one of the defining relations of the nonlinear algebra, presented by the authors, is only valid in the limiting case of an infinite square well, and we determine the correct relation in the general case. We also use it to establish the correct link with su(1,1), as well as to provide an algebraic derivation of the eigenfunction normalization constant. Short title: Application of nonlinear deformation algebra PACS: 02.10.Tq, 03.65.Fd Directeur de recherches FNRS E-mail address: [e-mail] 1 In an interesting paper (henceforth referred to as I and whose equations will be quoted by their number preceded by I), Chen, Liu, and Ge [1] recently pointed out that the nonlinear deformations of the su(2) and su(1,1) Lie algebras with two deforming functions f(J0) and g(J0), introduced by Delbecq and Quesne [2], can find some useful applications in quantum mechanics. They indeed claim to have proved that one of such algebras can be realized in a physical system with Poschl-Teller potential, which is one of the exactly solvable one-dimensional quantum-mechanical potentials. By starting from the ‘natural’ quantum operatorsX, P of Nieto and Simmons [3], they constructed mutually adjoint lowering and raising operators b, b, which together with the Hamiltonian H generate a nonlinear algebra with two deforming functions f(H) and g(H). They also obtained the eigenvalues and (unnormalized) eigenfunctions ofH by using this algebra instead of solving the Schrodinger equation, and pointed out a relation with the well-known su(1,1) symmetry of the Poschl-Teller potential (see [4] ans references quoted therein). In the present comment, we want to show that one of the defining relations of the nonlinear algebra, as given in I, is not entirely correct, and should actually contain an additional term, which only disappears in the ν → 1 limit, corresponding to an infinite square well. In support of the amended relation, we will prove that it allows us to algebraically derive the known eigenfunction normalization constant [5]. Finally, we will establish the correct relation between the nonlinear algebra and su(1,1). Let H , b, b be defined as in I by H = p 2m + V (x) V (x) = V0 cos2(kx) V0 = ǫν(ν − 1) ǫ = hk2 2m (1) b = 1 2ǫ [

研究の動機と目的

• 非線形変形代数の定義関係に誤りが含まれていることを特定・是正すること。
• 一般の場合における非線形変形代数と標準的なsu(1,1)代数との正しい代数的関係を確立すること。
• 是正された代数的構造を用いて固有関数の正規化定数を代数的に導出すること。
• Chen, Liu, and Geが提示した元の関係が、無限井戸型ポテンシャル極限（ν → 1）でのみ有効であることを示すこと。

提案手法

• Pöschl-Tellerポテンシャルにおける降下・上昇演算子bとb†の構造を分析することで、非線形代数の定義関係の正しい形を導出する。
• 是正された代数的関係を用いて、代数的手法により既知の固有関数の正規化定数を再構成する。
• Chenらが提示した元の関係と是正された関係を比較し、追加項がν → 1のときのみ消えることを示す。
• 一般の場合における非線形変形代数と標準的なsu(1,1)代数との一貫した関係を確立する。
• 是正された関係が、シュレーディンガー方程式を解かずにスピンの構造を導くために必要な代数的構造を保持していることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の論文で提示された非線形変形代数の定義関係は、ポテンシャルパラメータνのすべての値で有効であるのか、それとも極限状態でのみ有効なのか？
• RQ2 一般のPöschl-Tellerポテンシャルの場合における非線形代数の定義関係の正しい形は何か？
• RQ3 是正された非線形代数を用いて、固有関数の正規化定数をどのように代数的に導出できるか？
• RQ4 この系における非線形変形代数と標準的なsu(1,1)代数との正確な代数的関係は何か？

主な発見

• Chen, Liu, and Geが提示した非線形代数の定義関係は一般の場合に誤っており、考慮されていない追加項を含んでいる。
• 正しい関係はν → 1の極限状態、すなわち無限井戸型ポテンシャルに対応するとき、元の関係に還元される。
• 是正された代数的構造により、既知の固有関数の正規化定数を一貫的かつ代数的に導出可能である。
• 是正された関係を通じて、非線形変形代数と標準的なsu(1,1)代数との関係が適切に確立され、物理的解釈が保持されている。