[논문 리뷰] Comment on 'Lie symmetry analysis of the Lundgren-Monin-Novikov equations for multi-point probability density functions of turbulent flow'

Michael Frewer, George Khujadze외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Climate variability and models참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 룬드게르-몬인-노비코프(Lundgren-Monin-Novikov, LMN) 방정식의 리 대칭 분석을 비판하며, 와츠와치크 등에 의해 제안된 두 가지 새로운 대칭 X* 및 X** 가 기본적인 제약 조건을 위반하므로 물리적으로 비현실적임을 입증한다. 이 제약 조건들에는 분리 조건과 인과성 원리가 포함되어 있다. 저자들은 이러한 대칭이 무한한 거리에서 통계적 독립성을 유지하지 못하고, 인과적으로 정당화될 수 없음을 증명하여, 이들이 난류의 간헐성 모델링에 있어 유효하지 않음을 밝힌다.

ABSTRACT

The recent study by Waclawczyk et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 175501 (2017)] possesses three shortcomings: (i) The analysis misses a key aspect of the LMN equations which makes their Lie-group symmetry results incomplete. In particular, two essential symmetries will break when including this aspect. (ii) The statements on the constraints regarding the infinite-dimensional symmetry groups are misleading. (iii) The particular symmetries originating solely from the linearity of the LMN hierarchy violate the classical principle of cause and effect and therefore are unphysical. Within this Comment we present a detailed proof to this claim and conclude with the note that the new study by Waclawczyk et al. gives an unrealistic outlook on deriving invariant symmetry solutions for velocity correlations that arise from intermittent processes.

연구 동기 및 목표

• 와츠와치크 등이 LMN 방정식 분석에서 제안한 두 가지 새로운 리 대칭(X* 및 X**)의 타당성을 도전하기 위해.
• 이 대칭들이 난류에서 다중점 동시확률밀도함수(joint PDFs)에 대한 기본적인 물리적 요구 조건인 분리 조건을 위반함을 입증하기 위해.
• LMN 계층의 선형성에 의해 유일하게 유도된 대칭이 인과성 원칙을 위반하므로 물리적으로 비현실적임을 주장하기 위해.
• 대칭 분석에서 내부 제약 조건—특히 이에브레프 및 분리 조건—의 부재가 결과를 완전하고 정확하지 못하게 만든다는 것을 보여주기 위해.
• 세밀한 수준(instantaneous)과 거시적 수준(statistical) 간의 인과적 일관성이 난류의 물리적으로 의미 있는 통계이론을 위해 필수적임을 강조하기 위해.

제안 방법

• 제안된 대칭 X* 및 X** 의 유한 변환 형태를 그 무한소 생성자로부터 유도하여, 일정 배경장 b_n^0 에 대한 명시적 의존성을 보여준다.
• 대칭 변환을 분리 조건(f2 → f1·f1, |x1−x2|→∞)에 적용하여, 변환된 PDF가 통계적 독립성을 유지하지 못함을 증명한다.
• 식 (1.5) 및 (1.6)의 변환된 극한의 함수적 구조를 분석하여, 어떤 b_n^0 의 선택에도 불변 형태 (1.4)로 감소할 수 없음을 보여준다.
• 인과성 원리를 활용하여, 거시적 통계장(f_n*)의 변화가 반드시 세밀한 수준(instantaneous fields U)에서 해당 원인을 가져야 한다고 주장하며, 이러한 대칭들에서는 그러한 원인이 구축될 수 없음을 밝힌다.
• 고차수 속도 모멘트(n>2)의 비선형성에 주목하여, 선형 대칭 가정과 모순됨을 보여주며, 이로 인해 대칭이 진정한 동역학과 일치하지 않음을 입증한다.
• 통계적 대칭의 행동과 물리적 인과성 간의 비교를 통해, 세밀한 수준에서 보존되지 않는 대칭은 통계적 해에 대해 유효하지 않음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 와츠와치크 등이 제안한 대칭 X* 및 X** 는 다중점 동시확률밀도함수에 대한 핵심 물리적 요구 조건인 분리 조건을 유지하는가?
• RQ2 이 대칭들이 순수한 통계장(f_n*)의 변화를 유도하지만, 해당 변화에 대응하는 원인이 세밀한 수준(instantaneous)에서 존재하지 않기 때문에, 인과적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ3 왜 대칭 X* 및 X** 는 LMN 계층에서 고차수 속도 모멘트의 비선형적 구조와 불일치하는가?
• RQ4 특히 이에브레프 및 분리 조건과 같은 내부 제약 조건의 누락이 와츠와치크 등의 대칭 분석을 완전하지 못하게 만드는가?
• RQ5 난류 이론에서 물리적으로 타당한 통계적 대칭과 비물리적인 대칭을 구별하는 데 인과성의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 대칭 X* (식 [47]) 는 분리 조건을 위반한다. 그 변환은 불변한 극한을 유도하지 못하며, lim_{|x1−x2|→∞} f2* ≠ f1*(2*)·f1*(1*) 이다.
• 대칭 X** (식 [48]) 도 마찬가지로 분리 조건을 유지하지 못하며, 어떤 b_n^0 의 선택에도 변환된 극한이 불변 형태로 감소할 수 없다.
• X* 및 X** 에서 변환된 PDF의 함수적 구조에는 b_n^0 에 의존하는 유령 항이 포함되어 있으며, 이를 제거할 수 없어 물리적 대칭이 아님을 증명한다.
• 두 대칭 모두 인과성 원칙을 위반한다. 이는 세밀한 수준의 순간 속도장(U)에서 구축 가능한 원인이 없이도 거시적 통계장(f_n*)에 변화를 유도하기 때문이다.
• 이 대칭들은 오직 LMN 계층의 선형성에서 유래하므로, 난류 속도 모멘트의 진정한 비선형 동역학을 반영하지 못하므로 물리적으로 비현실적이다.
• 인과적 일관성과 제약 조건 보존의 부재는 이러한 대칭들이 간헐적 난류 흐름에 대해 불변 해를 유도할 수 있다는 주장의 타당성을 무너뜨린다.